Контрольная
Культура
Электротехника
Лабораторные
Школьный курс
Термех
Курсовая
Атомные станции

Лекции

Черчение
Физика
Реакторы
Интеграл
Выполнение чертежей
Конспект
На главную

Конспект курса лекций по физике. Световые волны

Соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить о точных одновременных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны (см. (40.2)), то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным.

Вернер Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенбергу микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рx, рy, pz), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

 (40.5)

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей (40.5) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (Dx=0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной (Dpx®¥), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Поясним, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной Dx, расположенную перпендикулярно направлению их движения (рис. 40.6). Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля l электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем, так как основная доля интенсивности приходится на главный максимум).

 Рис. 40.6. Дифракция электронов на щели.

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси Y, поэтому составляющая импульса рх = 0, так что Dрх = 0, а координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси Х определяется

с точностью до ширины щели, т. е. с точностью Dх. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2j (j — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси Х, которая, как следует из рис. 40.6 и формулы (40.1), равна

   (40.6) 

Для простоты ограничимся рассмотрением только тех электронов, которые попадают на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу j, удовлетворяющему условию

 Dx×sinj = l, (40.7)

где Dх — ширина щели, а l — длина волны де Бройля. Из формул (40.6) и (40.7) получим

 Dx×Dpx = h, (40.8)

где учтено, что для некоторой, хотя и незначительной, части электронов, попадающих за пределы главного максимума, величина Dрх³рsinj. Следовательно, получаем выражение

  Dx×Dpx ³ h,

т. е. соотношение неопределенностей (40.5).

Из-за большой «непривычности» соотношений неопределенностей рассмотрим их еще с одной позиции – с помощью так называемых «мысленных опытов» В. Гейзенберга.

Предположим, что положение электрона в пространстве определяется с помощью микроскопа; электрон освещается монохроматическим светом частоты v. Дифракционная теория разрешающей способности микроскопа устанавливает предел наименьших размеров Dх, которые могут быть определены с помощью микроскопа. Они определяются длиной волны l и углом a (рис. 40.7):

Рис. 40.7. Схема «мысленного опыта» Гейзенберга.

При освещении электрона возможно более коротковолновым светом можно уменьшить Dх. Однако коротковолновый свет, как известно, проявляет в сильной степени квантовые свойства. Рассеяние на электроне кванта с импульсом  приведет к передаче электрону от кванта некоторого импульса Dрх вдоль оси, перпендикулярной к оси микроскопа. Величина этого импульса

Перемножив Dх и Dрх соответствии с соотношением (40.8) получим

 Dx×Dpx = h.

Важно усвоить, что невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей, отражая специфику физики микрочастиц, позволяет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (40.5) в виде

Dx×Dvx ³ h/m. (40.9)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Tax, например, уже для пылинки массой 10 -12 кг и линейными размерами 10 -6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размера (Dх = 10-8 м), неопределенность скорости, по (40.9),

т. е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться.

Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновременно измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Предположим, что пучок электронов движется вдоль оси Х со скоростью v = 108 м/с, определяемой с точностью до 0,01% (Dvx » 104 м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (40.9),

 

т. е. положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории, иными словами, описывать их движение законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона Dх » 10-10 м (порядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что электрон принадлежит данному атому). Тогда, согласно (40.9), . Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса » 0,5×10-10 м его скорость v » 2,3×106 м/с. Таким образом, неопределенность скорости  - в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движения электрона в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

 DE×Dt ³ h. (40.10)

Подчеркнем, что DE —неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt — промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Dt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии  возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (40.10) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность , т. е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной . Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

 Соотношение (40.10) определяет возможность существования виртуальных частиц. В течение малого времени Dt энергия системы может измениться на DE без нарушения закона сохранения энергии. Так, энергия покоя частиц электрона и позитрона составляет по 0,51 МэВ = 0,816×10-19 Дж; в соответствии с соотношением неопределенностей (40.10), если время наблюдения составляет менее

 

то можно предполагать, что из кванта соответствующей величины – 1,02 МэВ – родилась и быстро исчезла электронно-позитронная пара.

  Эти размышления породили гипотезу «кипящего» вакуума, в котором, при наличии соответствующей энергии или вследствие распада ядер, соударений частиц рождаются виртуальные частицы. При этом взаимодействие реальных частиц с виртуальными может приводить к существованию весьма нетривиальных образований. Например, взаимодействие реального электрона с виртуальной электрон-позитронной парой приводит к эффекту поляризации вакуума. Виртуальные позитроны притягиваются к реальному электрону, а виртуальные электроны – отталкиваются. Наблюдается экранирование заряда электрона по отношению к другим реальным заряженным частицам. Около реального электрона существует «шуба» из виртуальных частиц, поэтому такой электрон называют «физическим».

 Лишенный «шубы» вакуумной поляризации электрон называют «голым» или истинным, его заряд больше заряда физического электрона и, по соответствующей оценке, составляет »3,0×10-19 Кл.

Задача анализа процессов в цепи сводится к задачи Коши, т.е. к решению системы интегро-дифференциальных уравнений с заданными начальных условиями Для линейной цепи, составленной из постоянных элементов, система уравнений является линейной с постоянными коэффициентами. При исследовании процессов свободных колебаний в цепях, а также исследовании вынужденных колебаний, решение системы уравнений удобно находить операторным методом, т.к. функции описывающие источники колебательного процесса - воздействия, а, следовательно, и функции, описывающие возникающие колебания - отклики, преобразуемы по Лапласу.

Математика

Реакторы