Электроника Физика Электротехника Полупроводниковые материалы Теория конструктивных материалов Курс черчения Контольная работа

Конспект курса лекций по физике. Световые волны

Современная физика атомов и молекул

Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно ионизованного лития Li++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

 (42.1)

где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 42.1. U (r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему значение (42.1):

 (42.2)

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (42.2) обычно используют сферическую систему координат: r,q,j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (42.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции y только при собственных значениях энергии

 (42.3)

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» и гармонического осциллятора, решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1, Е2, Е3, ... показаны на рис. 42.1 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е1, отвечающий минимальной возможной энергии, - основной, все остальные (Еn>Е1, n = 2, 3, ...) - возбужденные. При Е<0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n = ¥ E¥ = 0. При Е>0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра E>0 (заштрихована на рис. 42.1) соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

13,55 эВ.

Выражение (42.3) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

Рис.42.1. Энергетические уровни атома водорода.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (42.2) удовлетворяют собственные функции ynlm(r,q,j) определяемые тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l и магнитным ml.

Главное квартовое число n, согласно (42.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n = 1,2,3,...

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

 (42.4)

где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значения

l = 0,1,...,(n-1), (42.5)

т. е. всего п значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор Ll момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Llz на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные

значения, кратные :

  (42.6)

где ml - магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

ml = 0, ±1,±2,… ±l, (42.7)

т. е. всего 2l +1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l +1 ориентаций.

Наличие квантового числа ml должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом п на 2l +1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней и магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П. Зееманом (1865—1945) и получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектам Штарка.

Хотя энергия электрона (42.3) и зависит только от главного квантового числа n, но каждому собственному значению Еn (кроме Е1) соответствует несколько собственных функций ynlm отличающихся значениями l и ml. Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном п орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до п - 1 (см. (42.5)), а каждому значению l соответствует 2l +1  различных значений m (42.7), то число различных состояний, соответствующих данному n, равно

 (42.8)

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию y. Кроме того, так как при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, то квантовая механика вообще отказывается от классического представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обнаружения электрона в единице объема.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа п и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число ml характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами l = 0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном), l = 1 - p-состоянием, l = 2 - d-состоянием, l = 3 - f-состоянием и т. д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях с n=2 и l = 0 и 1 обозначаются соответственно символами 2s и 2р.

Задача анализа процессов в цепи сводится к задачи Коши, т.е. к решению системы интегро-дифференциальных уравнений с заданными начальных условиями Для линейной цепи, составленной из постоянных элементов, система уравнений является линейной с постоянными коэффициентами. При исследовании процессов свободных колебаний в цепях, а также исследовании вынужденных колебаний, решение системы уравнений удобно находить операторным методом, т.к. функции описывающие источники колебательного процесса - воздействия, а, следовательно, и функции, описывающие возникающие колебания - отклики, преобразуемы по Лапласу.

На главный сайта: Курс физики