Контрольная
Культура
Электротехника
Лабораторные
Школьный курс
Термех
Курсовая
Атомные станции

Лекции

Черчение
Физика
Реакторы
Интеграл
Выполнение чертежей
Конспект
На главную

Конспект курса лекций по физике. Атомная физика

Спектральное разложение

ФУРЬЕ – ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕКТРОВ

Спектр — реально существующая картина и спектр — математическое понятие


«Я поместил в очень темной комнате у круглого отверстия, около трети дюйма шириной, в ставне окна стеклянную призму, благодаря чему пучок солнечного света, входившего в это отверстие, мог преломляться вверх, к противоположной стене комнаты и образовать там цветное изображение солнца».

 Рис.36.1. Чертеж из «Оптики» Ньютона.

Так начинается в «Оптике» Ньютона доказательство его знаменитого утверждения (или, как называет его Ньютон, теоремы): «Солнечный свет состоит из лучей различной преломляемости». Один из чертежей «Оптики» Ньютона (его воспроизводит наш рис. 36.1) отчетливо показывает форму этого цветного изображения - оно имеет вид полоски ТР с закругленными концами. Конец Т полоски окрашен в красный цвет, конец Р - в фиолетовый. Между красным и фиолетовым концами полоски располагаются, незаметно переходя один в другой, оранжевый, желтый, зеленый, синий цвета.

Наряду с выражением «цветное изображение» Ньютон пользовался для обозначения полоски ТР словом «спектр». Оно было первоначально (латинское spectrum) синонимом слова «изображение». Но впоследствии спектром стали называть в оптике только цветную картину, о которой идет здесь речь, и аналогичные картины, возникающие в результате прохождения света от любого источника через призму, а также через дифракционную решетку. При этом обычно - как уже делал Ньютон в другом своем опыте - свет пропускается не через круглое отверстие, а через узкую прямую щель (параллельную ребру призмы или штрихам решетки).

Значительно позднее, в процессе развития учения о колебаниях и волнах, слово «спектр» приобрело в науке еще и другой смысл. Рассмотрим функцию вида

 

или в более короткой записи

  (36.1)

где Cn, wn, an - постоянные, причем wn, соответствующие различным значениям индекса n, не равны между собой. Совокупность пар чисел (w1, C12), (w2, C22), … (wN, CN2), называется спектром функции f(t). N может быть конечным или бесконечным. В первом случае функция (36.1) обычно называется тригонометрической суммой, во втором - тригонометрическим рядом. Мы будем, однако, для краткости называть всякую функцию вида (36.1) тригонометрическим рядом, рассматривая тригонометрическую сумму как частный случай последнего.

Построим графическое изображение спектра функции f(t). Отметим на оси абсцисс точки, соответствующие в некотором масштабе частотам (w1, w2, …,wN). В каждой такой точке восставим перпендикуляр к оси абсцисс и отложим на нем отрезок, длина которого пропорциональна интенсивности С12, С22,…,СN2 соответствующей синусоидальной слагаемой. Получающуюся в результате такого построения диаграмму (рис. 36.2) мы будем называть спектрограммой функции f(t). 

«Спектр функции» есть математическое понятие. Как покажет дальнейшее изложение, между этим математическим понятием и физическим понятием спектра существует тесная связь: характер спектра как реально существующей цветной картины (спектра в физическом смысле) определяется характером спектра (в математическом смысле) - функции, описывающей световую волну, падающую на призму или решетку. Установление этой связи составляет содержание одного из важнейших утверждений учения о колебаниях и волнах, или, говоря языком XVII в., одной из фундаментальных теорем этого учения, раскрывающей смысл открытия Ньютона.

Мы не будем ограничиваться рамками оптики. Из того, как был определен спектр функции (спектр в математическом смысле), ясно, что этот термин принадлежит единому языку теории колебаний и волн. Функция типа (36.1) может изображать не только изменение напряженности электрического поля в световой волне, но и изменение напряженности поля в «невидимой» электромагнитной волне, давление в звуковой волне, силу тока и т. д. В связи с этим целесообразно под спектром в физическом смысле понимать не только ту картину, которая возникает в оптических опытах с призмой или решеткой, но и всякую реально существующую картину (например, на экране электронного осциллографа), являющуюся механическим, акустическим, радиофизическим аналогом оптического спектра. С такими картинами нам предстоит скоро познакомиться. При этом слово «спектр» как обозначение реально существующей картины также становится одним из слов единого языка теории колебаний и волн. Придание термину «спектр» указанного здесь математического и широкого (выходящего за пределы оптики) физического смысла было важным этапом возникновения языка теории колебаний. Заметим, что иногда спектром (в математическом смысле) называют совокупность одних только чисел w1, w2, …,wN. Именно в этом смысле говорят, например, что спектр собственных колебании однородной струны состоит из нескольких частот. Вместе с тем в физике заметна тенденция к все большему расширению смысла, вкладываемого в слово «спектр». Так, например, картину, показывающую распределение некоторой совокупности атомов по массам, называют массовым спектром. Даже в журналистике и политике процветают «спектры мнений» и «спектры кандидатур» и т.п.

Заметим, что задание спектра функции f(t) не эквивалентно заданию самой функции: две функции, имеющие одинаковый спектр, могут различаться фазами своих синусоидальных компонент. Так, например, функции

cos wt + cos 2wt

и

cos wt + sin 2wt

имеют одинаковые спектрограммы, но весьма различные осциллограммы. Однако для тех явлений, изучение которых составляет основное содержание этой главы, важен, как мы увидим, только спектр той или иной функции, а не фазы ее синусоидальных компонент.

Электрические цепи, для которых волновой характер процесса представляет основу используемых свойств цепи, а замена распределенных элементов сосредоточенными приводит к утрате этих основных свойств цепи, называют цепями с распределенными элементами. Токи и напряжения в таких цепях являются функциями координат сечения наблюдения цепи и времени t. При составлении систем уравнений с распределенными элементами возникают трудности: I) не выполняются законы Кирхгофа; 2) очень сложно произвести выбор реальной модели цепи с распределенными элементами; 3) напряжения и токи зависят не только от времени, но и от пространственных координат.

Математика

Реакторы