Контрольная
Культура
Электротехника
Лабораторные
Школьный курс
Термех
Курсовая
Атомные станции

Лекции

Черчение
Физика
Реакторы
Интеграл
Выполнение чертежей
Конспект
На главную

Конспект курса лекций по физике. Физика атомного ядра

Спектральное разложение как математическая операция

1. Как появляются при построении теории физических явлении тригонометрические ряды и их спектры? Всякая попытка построить теорию некоторого физического явления (или группы физических явлений) состоит, говоря грубо схематически, из следующих этапов:

на основании некоторых физических утверждений, а также результатов предварительных экспериментов формулируется математическая задача (например, составляется дифференциальное уравнение);

эта задача решается с помощью подходящих для этой цели математических методов;

выясняется физический смысл полученного решения, т. е. формулируются вытекающие из него физические утверждения;

эти физические утверждения проверяются на опыте и, смотря по результатам этой проверки, исходные утверждения признаются правильными, т. е. отражающими (в том или ином приближении) объективную реальность или нет.

Иногда при построении теории физического явления тригонометрический ряд и его спектр (спектр в математическом смысле) появляются «естественным образом»—уже на первом этапе построения теории. Это бывает тогда, когда те или иные физические соображения нам непосредственно указывают, что в интересующем нас явлении складываются синусоидальные воздействия, создаваемые независимыми источниками.

Пусть, например, мы хотим построить теорию вынужденных колебаний в контуре, индуктивно связанном с несколькими ламповыми генераторами (например, тремя), дающими практически синусоидальные колебания различной частоты (рис. 36.3).

 

Рис.36.. Колебательный контур, индуктивно связанный с тремя ламповыми генераторами синусоидальных (немодулированных) колебаний.

Каждый из генераторов наводит в контуре синусоидальную э.д.с., частота которой равна частоте колебаний генератора. Общая э.д.с., наводимая в контуре, есть, как учит электродинамика, сумма э.д.с., наводимых каждым генератором в отдельности. Следовательно, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

 Е1cos(w1t - a1) + Е 2cos(w2t - a2) + Е 3cos(w3t - a3)  (36.2)

(q - заряд конденсатора).

Здесь правая часть нам непосредственно задана физическими условиями задачи в виде тригонометрического ряда.

Рассмотрим другой пример. Пусть мы хотим построить теорию прохождения через дифракционную решетку света, создаваемого точечным источником, в котором одни атомы излучают синусоидальные волны частоты w1 другие атомы - синусоидальные волны частоты w2 и т. д. (всего N сортов атомов). Тогда согласно принципу суперпозиции свет, падающий на решетку, есть сумма синусоидальных волн

E1 = A1cos(w1t – k1r - a1),

E2 = A2 cos(w2t – k2r - a2),

…………………………….

EN = ANcos(wNt – kNr - aN),

создаваемых в отдельности каждым сортом атомов, т.е. изображается формулой

 

Здесь волна, падающая на решетку, нам непосредственно задана физическими условиями задачи в виде тригонометрического ряда.

Гораздо чаще, однако, - и этот случай представляет для нас главный интерес — тригонометрические ряды и их спектры появляются на втором этапе построения теории.

Дело может обстоять, например, так. В формулировку математической задачи (например, в правую часть дифференциального уравнения) входит функция, записанная не в виде тригонометрического ряда; но, приступая к решению математической задачи, мы изменяем запись этой функции, представляя ее в виде тригонометрического ряда. Такое изменение записи функции есть математическое преобразование, возможность которого основана на определенных математических теоремах: оно ничего не меняет в физических условиях задачи. Именно это преобразование мы имеем в виду, когда говорим о спектральном разложении как математической операции.

Конкретные примеры такого «искусственного» появления тригонометрических рядов при построении теории физического явления будут приведены в пп. 2, 3.

Дело может обстоять и так. В формулировку математической задачи не входят никакие заданные функции вида f (t) или f (t – r/c). Но в процессе решения математической задачи появляются такие функции, и притом представленные в виде тригонометрических рядов. Здесь также можно говорить о спектральном разложении в математическом смысле.

2. Спектральное разложение простейшего модулированного колебания.

Пусть нас интересуют вынужденные колебания гармонического осциллятора, создаваемые в нем одним источником колебаний (в отличие от примера п. 1), но колебаний не синусоидальных, а амплитудно-модулированных. Речь может идти, например, о контуре, совершающем вынужденные колебания под действием амплитудно-модулированного лампового генератора (рис. 36.4). Речь может идти также, например, о таком опыте. На камертон действует звуковая волна, излучаемая резонаторным ящиком другого камертона, перед отверстием которого колеблется, периодически его закрывая и открывая, рука или механическая заслонка.

 Рис.36.4. Колебательный контур, индуктивно связанный с одним ламповым генератором модулированных колебаний.

Здесь физически дано следующее: э.д.с. индукции в контуре или звуковое давление, раскачивающее камертон, имеет периодически меняющуюся амплитуду A (t). Примем для простоты, что она меняется синусоидально около некоторого среднего значения а:

 A(t) = a + 2bcosWt

 (W - частота модуляции). Тогда э.д.с. в контуре или сила, действующая на камертон, имеет вид

 f(t) = A(t) cos wt = (a + 2bcos Wt) coswt.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид (будем говорить для определенности о контуре)

 (a + 2bcos Wt) coswt. (36.3)

Таково дифференциальное уравнение, написанное непосредственно «с натуры».

Подвергнем его теперь математической обработке. Преобразуя правую часть уравнения (36.3), мы можем его представить в виде

 b cos(w - W)t + a coswt + b cos (w +W)t. (36.3,a)

Теперь правая часть представлена в виде тригонометрического ряда суммы трех синусоидальных колебаний с различными частотами w - W, w, w + W. Ее спектрограмма показана на рис. 36.5.

Электродвижущая сила в контуре создастся одним источником неси-нусоидалъных (модулированных) колебаний. Но, как показывает сравнение с (36.2), она ничем не отличается от той силы, которую создавали бы три источника синусоидальных э. д. с. частоты w - W, w, w + W и амплитуды b, а, b.

Ясно, что колебательный контур (рис. 36.4) или камертон одинаково колеблется под действием силы вида (36.2), независимо от того, создается она одним модулированным источником или тремя независимыми источниками синусоидальных колебаний.

В связи с тем, что линии передачи сигналов являются составной частью радиотехнической цепи, для анализа и синтеза которой необходимо знать напряжение и токи в линиях, широкое применение получили методы теории электрических цепей. Возможность применения указанных методов основывается на представлении о линии в виде цепи с большим числом бесконечно малых по величине пассивных элементов или, иными словами, о линии как о цепи с распределенными (по ее длине) элементами. В соответствии с этим используются понятия о так называемых погонных (распределенных) параметрах линии: резистивном сопротивлении R0, индуктивности L0 , емкости С0 и проводимости Go единицы длины линии

Математика

Реакторы