Электроника Физика Электротехника Полупроводниковые материалы Теория конструктивных материалов Курс черчения Контольная работа

Конспект курса лекций по физике. Физика атомного ядра

Спектральное разложение несинусоидального периодического воздействия.

Пусть на резонатор действует несинусоидальная, но периодическая внешняя сила f(t). Теорема Фурье, доказываемая в курсе математики, утверждает, что функция f(t) может быть представлена во всем интервале - ¥ £ t £ +¥ виде суперпозиции бесконечного множества синусоид, имеющих частоты, кратные w = 2p/T, где Т— период функции f(t):

или

 

где

 

причем коэффициенты An, Bn («коэффициенты Фурье» периодической функции) даются формулами (t0 произвольно)

 

 

 

 (n = 1,2,3,….). Рис. 36.6. Периодически повторяющиеся

  прямоугольные импульсы: а – осцилло грамма и

 б - спектрограмма. 

Первый  пример: периодические прямоугольные толчки (рис. 36.6, а). Здесь, обозначив t продолжительность толчка, F - величину силы во время толчка и взяв t = 0 в середине толчка, имеем:

 F(t) = E при

и f(t) = 0 в остальной части интервала  Взяв , имеем:

 

и аналогичным образом для n ¹ 0

 

Спектрограмма показана для частного случая на рис. 36.6, б. Интересен случай, когда t << T (длительность толчка мала по сравнению с T - интервалом между толчками, называемым еще «скважностью» последовательности импульсов). При этом для гармонических составляющих, периоды которых T/n еще велики по сравнению с t, можно считать приближенно

 откуда 

где G - импульс, сообщаемый отдельным толчком. Здесь в низкочастотной части спектра все линии имеют одинаковую интенсивность.

Второй пример: короткие одинаковые толчки произвольной формы (рис.36.7). Здесь также

 

 (n = 1,2,3,….).

 

Рассмотрим низкочастотную часть спектра – те гармонические составляющие f(t), для которых t <<T/n. Здесь можно считать приближенно, что cos nwt, sin nwt сохраняют постоянные значения, равные соответственно 1 и 0, на всем протяжении интервала  откуда

 

где G опять - импульс, сообщаемый отдельным толчком. В низкочастотной части спектра все линии имеют одинаковую интенсивность, не зависящую от формы толчка и пропорциональную импульсу Р (рис. 36.7, б).

Третий пример: короткие толчки, чередующиеся по знаку. Будем считать, что последовательные толчки отличаются только знаком, форма же их одинакова (рис. 36.7, в). Оказывается, что здесь Сn = 0 для всех четных n (в частности n=0), т. е. спектр состоит только из составляющих с частотами w, 3w, 5w. Можно также показать, далее, что если t<<t в низкочастотной части спектра (t << Т/n), амплитуды всех составляющих одинаковы (рис. 36.7, г) и даются формулой

  (n - нечетное).

Четвертый пример: пилообразное колебание. Осциллограмма и спектрограмма показаны для частного случая на рис. 36.8.

Рис. 36.8. Пилообразное колебание: осциллограмма и спектрограмма.

Конечно, для колебательного контура, камертона или маятника «безразлично», создаются ли спектры, показанные на рис. 36.6, 36.7, 36.8, одним источником несинусоидальных колебаний или некоторым набором источников синусоидальных колебаний.

4. Спектральное разложение произвольного периодически модулированного по амплитуде колебания.

Пусть

f(t) = F(t)coswt,  (36.4)

где F (t) — произвольная периодическая функция периода

 

Согласно теореме Фурье

 (36.5)

где  (36.6)

Подставляя (36.5) в (36.4), получаем после элементарного преобразования

Спектр f(t) состоит из колебания частоты w (несущая частота) и колебаний с частотами  (боковые частоты). Если, например, осциллограмма колебания имеет вид рис. 36.9, а, т. е. амплитуда меняется по закону

 

то, произведя вычисление по формулам (36.6), мы получаем спектрограмму вида, показанного на рис. 36.9, б.

Рис. 36.9. Колебание, разрывно модулированное по амплитуде: осциллограмма и спектрограмма. 

Функция вида

 

где wn не являются целыми кратными некоторой величины w, называется почти-периодической функцией. Это название связано со следующим свойством таких функций (приводим его без доказательства): как бы ни было мало положительное число e, можно найти такое Т («почти-период», соответствующий выбранному e), что при любом t

 |f(t + T) – f(t)| < e.

Модулированное колебание - важнейший для физики случай почти-периодической функции. В частном случае, когда несущая частота w — целое кратное частоты модуляции W, модулированное колебание становится периодической функцией с периодом, равным периоду модуляции.*

Подробнее теорию Фурье-преобразований см. –

1. Г.С. Горелик «Колебания и волны», - М., Гос. изд. ф.-м. лит., 1959г., 572с.

2. Мерц Л., «Интегральные преобразования в оптике», пер. с англ., М., 1969.

ФУРЬЕ СПЕКТРОСКОПИЯ

Рассмотрим в качестве примера одну измерительную технологию, широко применяемую в науке и технике в последние десятилетия, с внедрением вычислительной и микропроцессорной техники

Фурье спектрометрия, метод оптической спектроскопии, в котором получение спектров происходит в два приёма: сначала регистрируется так называемая интерферограмма исследуемого излучения, а затем путем её фурье-преобразования вычисляется спектр. В Фурье спектроскопии интерферограммы получают с помощью интерферометра Майкельсона, который настраивается на получение в плоскости выходной диафрагмы интерференционных колец равного наклона. (Полосы равного наклона!). При поступательном перемещении одного из зеркал интерферометра изменяется разность хода лучей D в плечах интерферометра. В процессе изменения D исследуемое излучение модулируется, причем частота модуляции W зависит от скорости изменения D и длины волны излучения l (волнового числа n = 1/l). При D=kl (k = 1, 2, . . .) имеют место максимумы интенсивности излучения, при D = kl/2 — её минимумы. Если скорость зеркала V = const, то  т.е. каждая длина волны исследуемого излучения кодируется определенной частотой f.

Сигнал на приёмнике представляет собой совокупность синусоидальных цугов (рис.36.10).

Рис.36.10. Интерферограммы, соответствующие спектральной линии, спектральному дублету, спектральной полосе.

  Каждому спектру соответствует интерферограмма определенного вида. В некоторых случаях спектр может быть определён по ней непосредственно, однако в большинстве случаев для преобразования интерферограммы в спектр необходимо произвести сё гармонический анализ. Для этого она записывается в виде ряда (массива) цифр, соответствующих дискретным значениям интенсивности излучения при изменении разности хода от 0 до Dмакс (или от - Dмакс до +Dмакс) с заданным шагом. Такой массив, имеющий в разных приборах от 102 до 106 значений, вводится в память ЭВМ, которая с помощью фурье-преобразования вычисляет спектр в течение времени от нескольких секунд до нескольких часов в зависимости от сложности спектра, числа значений в массиве, быстродействия аппаратуры.

Комплекс аппаратуры, выполняющий эти операции, называется фурье-спект-рометром (ФС), в него, как правило, кроме двухлучевого интерферометра входят осветитель, приемник излучения, система отсчёта D, усилитель, аналогово-цифровой преобразователь и ЭВМ (встроенная в прибор или установленная в вычислительном центре). Сложность получения спектров на ФС перекрывается его преимуществами над другими спектральными приборами.

Так, с помощью ФС можно регистрировать одновременно весь спектр. Благодаря тому, что в интерферометре допустимо входное отверстие бóльших размеров, чем щель спектральных приборов с диспергирующим элементом такого же разрешения, ФС по сравнению с ними имеют выигрыш в светосиле. Это позволяет уменьшить время регистрации спектров и отношение сигнал - шум, повысить разрешение и уменьшить габариты прибора. Наличие ЭВМ в приборе позволяет кроме вычисления спектра производить другие операции по обработке полученного экспериментального материала, осуществлять управление и контроль над работой самого прибора.

Наибольшее применение ФС нашли в тех исследованиях, где другие методы малоэффективны или вовсе неприменимы. Например, спектры в ближней ИК области некоторых планет были зарегистрированы в течение нескольких часов, а для регистрации их спектральным прибором с диспергирующим элементом потребовалось бы несколько месяцев. Малогабаритные ФС были использованы при исследовании из космоса околоземного пространства и земной поверхности в средней ИК области.

Лабораторные ФС для дальней ИК области нашли применение в химии. Построены также фурье-спектрофотометры для всего ИК, а также субмиллиметрового диапазонов длин волн. Эти приборы используются также для измерения таких важных характеристик, как показатель преломления вещества в тонких пленках, определения на поверхностях адсорбированных слоев и динамики их изменения и т.п.

В связи с тем, что линии передачи сигналов являются составной частью радиотехнической цепи, для анализа и синтеза которой необходимо знать напряжение и токи в линиях, широкое применение получили методы теории электрических цепей. Возможность применения указанных методов основывается на представлении о линии в виде цепи с большим числом бесконечно малых по величине пассивных элементов или, иными словами, о линии как о цепи с распределенными (по ее длине) элементами. В соответствии с этим используются понятия о так называемых погонных (распределенных) параметрах линии: резистивном сопротивлении R0, индуктивности L0 , емкости С0 и проводимости Go единицы длины линии

На главный сайта: Курс физики