Контрольная
Культура
Электротехника
Лабораторные
Школьный курс
Термех
Курсовая
Атомные станции

Лекции

Черчение
Физика
Реакторы
Интеграл
Выполнение чертежей
Конспект
На главную

Конспект курса лекций по физике. Физика атомного ядра

Рассмотрим основные свойства тензора инерции

 (для более детального  ознакомления со свойствами тензоров отсылаем студентов к специальным учебникам по математике)

.Тензор является симметричным, т.е.

 

поэтому максимальное число его независимых компонент не 9, а 6. Компоненты Ixx, Iyy, Izz (стоящие на "главной диагонали" матрицы 3х3) называются осевыми моментами инерции твердого тела относительно осей  координат Х,Y,Z соответственно. Недиагональные компоненты Ixy, Ixz, Iyz - это  так называемые центробежные моменты инерции твердого тела. Смысл этих названий  можно раскрыть, анализируя динамику вращательного движения твердого тела.

2. Среди множества осей XYZ имеются такие, в которых тензор инерции имеет только  диагональные элементы Ixx, Iyy, Izz, а все недиагональные обращаются в 0. Оси  этой особой декартовой системы называются собственными (или главными) осями тензора  инерции, а осевые моменты инерции твердого тела относительно этих осей - главными  моментами инерции твердого тела. Компоненты-проекции момента импульса на главные  оси инерции можно вычислить из соотношений (46.6)

 (46.9)

где индексами (о) отмечены проекции векторов  L и w на главные оси инерции, а также главные осевые  моменты инерции твердого тела

В качестве иллюстрации свойств тензора инерции приведем вычисление его элементов в простейшем случае - твердое тело состоит из двух материальных точек m1 и m2 одинаковой массы m, расположенных на расстоянии  2l друг от друга. Вычислим элементы тензора инерции при произвольной ориентации  осей координат, задаваемой "направляющими" косинусами соs a, cos b, cos g, где abg - углы между осями координат ОХ, OY, OZ с направлением отрезка, соединяющего две точки нашего тела (рис.46.2,а), (начало координат в центре масс).

Рис.46.2. Расположение двухточечного твердого тела в различных системах координат

Координаты точек: m2 (1cosa,1cosb, 1cosg)  и m1 (-1cosa,-1cosb, -1cosg).  Применим правила вычисления элементов тензора инерции, данные в описании формулы  (46.6)

Матрица тензора инерции нашего двухточечного тела имеет вид

Разместим теперь систему координат так, как изображено  на рис. 46.2, б, т.е. две точки m1 и m2 расположим в плоскости XOY. Теперь их координаты: m2 (1cosa,1cosb, 0 ) и m1 (-1cosa, -1cosb, 0 ) и тензор инерции изобразится матрицей

Если выбрать систему координат так, чтобы одна  из осей (например, OX) проходила через обе точки (см. рис. 46.2,в), то тензор инерции будет иметь вид диагональной матрицы

Осевой момент Ixx = 0 , т.к. тело состоит из материальных точек, не имеющих размеров. Видно, что третий вариант выбора осей  привел к системе координат, состоящей из главных осей инерции нашего тела. Отметим, что они совпали с осями симметрии материального тела.

Математики разработали  процедуру, с помощью которой можно найти расположение главных осей инерции для тел сколь угодно сложной формы.

Теперь мы с вами достаточно подготовлены  математически для того, чтобы произвести анализ свойств момента импульса твердого тела при различных способах его вращения.

Рассмотрим поведение свободного  твердого тела, например, помещенного в глубоком Космосе вдали от притягивающих объектов. В таких условиях выполняется закон сохранения момента импульса, а центр  масс движется как свободная материальная точка. Следовательно, его можно принять  за начало отсчета инерциальной системы координат. Вектор момента импульса L =  const, a что же можно сказать относительно вектора угловой скорости? Рассмотрим тело в некоторый фиксированный момент времени t = 0. Выберем главные оси инерции этого тела в качестве координатных осей ОХ, OY, OZ. В этом случае компоненты вектора  момента импульса  связаны о компонентами  соотношениями (46.9). В каком случае  эти два вектора будут параллельны? Имеются две возможности:

Вектор  направлен по одной из главных осей инерции, т.е. в нашем случае осей координат. Пусть это будет, например, ось Х. Тогда компоненты wy = wz = 0, и, соотношения (46.9) приводят к формулам

 (46.10)

Поскольку , то из (46.10) вытекает, что и .

2. Вектор  направлен произвольно, т.е. wх ¹ 0, wy ¹ 0 wz ¹ 0, но тело имеет симметрию, приводящую к одинаковым главным осевым моментам инерции:  . Примерами таких тел могут  служить однородные куб, шар, кубические и сферические оболочки и некоторые другие, обладающие симметрией не ниже куба (шар имеет симметрию более высокую, чем куб).  В этом случае из соотношений (46.9) вытекает

 (46.11)

Формулы (46.11) показывают, что вектора  L и  для тел, имеющих кубическую и более высокую симметрию, всегда параллельны, как бы ни был направлен вектор .  И снова из L = const, соотношения (46.11) приводят к = const.

Других возможностей для совпадения  векторов L и  в природе не существует. Следовательно,  мы делаем вывод: при вращении свободного тела произвольной формы вокруг любой из его главных осей инерции, либо при вращении тела с симметрией выше куба (т.е. тел с одинаковыми главными моментами инерции) вокруг произвольной оси сохраняются и момент импульса L и угловая скорость  (более глубокий анализ показывает, что вращение тел с различными главными моментами инерции () будет устойчивым лишь при выборе осей вращения, совпадающих с главными осями с наибольшим и наименьшим моментами инерции).

Как будет вести себя вектор  в случаях, когда  не совпадает с L? В общем случае поведение вектора угловой скорости может быть довольно сложным: он изменяет свою ориентацию  в пространстве и может изменяться по модулю и все это - без внешних воздействий на тело!

Таким образом, вращательное движение твердого тела оказывается  довольно сложным явлением даже в отсутствие внешних воздействий на тело. Мы можем  только догадываться о тех трудностях, которые возникают при решении задач динамики, связанных с описанием вращательного движения под действием внешних сил вокруг центра масс тела. Эти задача возникают пока что в инженерных разработках, связанных  с управлением движения космических аппаратов, например, при расчете маневров космических станций при стыковках. Для "земной" инженерии более важным является  поведение твердого тела, совершающего вращательное движение относительно оси,  фиксированной в пространстве. Такую фиксацию в технике выполняют с помощью подшипников, закрепленных неподвижно в пространстве.

Как ведет себя твердое тело в этих условиях? Применяя общее уравнение динамики вращательного движения (46.4) и выбирая ось Z по направлению вектора , т.е. по направлению закрепленной оси вращения (в этом  случае компоненты вектора : wx = 0, wy = 0, wz = w), формул (46.6) получаем:

 (46.12)

Поскольку при вращении вокруг оси OZ  момент инерции Izz = const (не изменяются расстояния любых точек тела до оси OZ, т.е. эти точки движутся по окружностям с центрами на оси OZ ), третье равенство из (46.12) можно переписать так:

Отсюда вытекает, что модуль вектора угловой скорости может быть изменен лишь с помощью момента внешних сил, имеющего Z -составляющую, Mz ¹ 0. Если Mz = 0 (идеальные подшипники, не создающие момента сил трения, вращение в среде без сопротивления), то вектор   = const. А вектор L? Из соотношений (46.6) вытекает, что в нашем случае ( wx = 0, wy = 0, wz = w):

Учитывая, что Izz = const, получаем Lz = const. Однако, если ось OZ не является главной осью инерции тела, то Ixz ¹ 0, I yz ¹ 0 и существует составляющая момента импульса, расположенная в плоскости XOY, т.е.  перпендикулярная оси OZ. В процессе вращения тела в неподвижной системе координат (ХУZ) вокруг оси Z X - и Y - координаты всех его точек изменяются, что приводит  к изменяющимся во времени

 

Если ввести систему координат (X`,У`,Z`), скрепленную с телом осью Z`, совпадающей с осью вращения, то в ней, естественно. Ix`z` = const и Iy`z` = const а, следовательно, и компоненты вектора L: Lx` = Ix`z`×w = const и Ly` = Iy`z`×w = const.

Следовательно, вектор L неподвижен  относительно вращающегося тела, т.е. вращается вместе с телом (рис.46.3.а).

Можно сделать вывод: при свободном вращении тела вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции тела, угловая скорость тела сохраняется ( = const); сохраняется также проекция  момента импульса на ось OZ (Lz = const). Поперечная к оси Oz компонента вектора L не равна 0 и вращается так же, как и вектор угловой скорости тела, сохраняясь по величине (т.е.

В связи с тем, что линии передачи сигналов являются составной частью радиотехнической цепи, для анализа и синтеза которой необходимо знать напряжение и токи в линиях, широкое применение получили методы теории электрических цепей. Возможность применения указанных методов основывается на представлении о линии в виде цепи с большим числом бесконечно малых по величине пассивных элементов или, иными словами, о линии как о цепи с распределенными (по ее длине) элементами. В соответствии с этим используются понятия о так называемых погонных (распределенных) параметрах линии: резистивном сопротивлении R0, индуктивности L0 , емкости С0 и проводимости Go единицы длины линии

Математика

Реакторы