Контрольная
Культура
Электротехника
Лабораторные
Школьный курс
Термех
Курсовая
Атомные станции

Лекции

Черчение
Физика
Реакторы
Интеграл
Выполнение чертежей
Конспект
На главную

Конспект курса лекций по физике. Законы Ньютона

Потенциальная энергия тяготения двух тел.

 Рассмотрим потенциальную энергию физической системы, в которой осуществляется фундаментальное гравитационное взаимодействие, на примере взаимодействия двух тел. Тогда их сила взаимодействия определяется законом всемирного тяготения:

 

 Пусть силы гравитации совершат работу dA = F(r)×dr и сблизят тела от положения r1 до r2, причем r2<r1 (рис 6.7).

 

 Рис.6.7. Перемещение тела под действием гравитационной силы F.

 Совершенная при этом работа может быть найдена путем интегрирования:

 Эта работа будет совершена за счет потенциальной энергии системы, запас которой уменьшится на величину DU.

 Заметим, что в скобках производится операция с двумя отрицательными величинами.

 Следовательно, потенциальная энергия системы двух тел, расположенных на расстоянии r друг от друга, и взаимодействующих за счет сил гравитации, описывается выражением

 Вспомним теперь об условии UÞ0 при r Þµ. Следовательно, само значение потенциальной энергии тяготения всегда отрицательно, лишь её изменение может быть величиной положительной. Максимальное значение потенциальной энергии гравитационного поля равно 0!

 Таким образом, в приведенной выше функции Кулона для описания потенциальной энергии для гравитационного взаимодействия коэффициент a=- g ×m1m2, для электростатического взаимодействия a = kq1q2, а потенциальная энергия электростатического поля равна

Потенциальная энергия поля тяготения Земли.

  В частном случае поля тяготения Земли введем обозначение m2 = MЗ, а линейную координату будем рассматривать как сумму r = RЗ + h, где RЗ – радиус Земли, которую мы для простоты будем полагать однородной сферой, h – высота поднятия тела.

 В этом случае потенциальная энергия частицы массой m будет равна

 

 Подчеркнем, что закон всемирного тяготения в записанной выше форме справедлив не только для точечных масс, но и для тел сферической формы однородного по плотности строения. Т.е. в случае тел сферической формы поле носит кулоновский характер, имеет центральную симметрию.

 Рассмотрим последнюю полученную формулу при h<<RЗ (до ~10%).

Тогда  и в этом случае дробь  с тем большей точностью, чем h меньше R (используется известное из математики соотношение  при a<<1).

Следовательно, можно записать

Первый член равенства является постоянной величиной, не зависящей от h, и поэтому несуществен (он будет исчезать при дифференцировании при, например, определении силы тяготения Земли, или при определении разности DU). Второй член известен из школьного курса общей физики, если положить  - ускорению свободного падения, имеющему смысл напряженности силового поля Земли.

Тогда U(h) = mgh, стало быть, эту формулу можно применять лишь при h<<RЗ.

Заметим в заключение, что потенциальными силами с центральной симметрией являются также силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия. Другие фундаментальные силы (в частности, ядерные) не обладают центральной симметрией.

Кинетическая энергия.

 Выше подчеркивалось, что механическая работа, которую может совершить физическая система, определяется разностью энергий системы в конечном и начальном состояниях

 

 Работа, которую система (тело) может совершить вследствие изменения состояния своего движения, характеризует кинетическую энергию системы (тела).

 Определяющими параметрами здесь являются скорость и импульс тела.

 1) Нерелятивистское соотношение для кинетической энергии (v<<c).

  Пусть под действием некоторой силы F тело массой m=const при прямолинейном движении увеличило свою скорость от v1 до v2 (рис.6.8). Сила в общем случае может изменяться от точки к точке, т.е. F = F(S).

 

 Рис.6.8. К выводу кинетической энергии.

 Разбиваем участок S на отрезки dS, достаточно малые, чтобы считать F=const. Тогда Учитывая - мгновенное значение силы на отрезке dS, получаем, после замены порядка дифференцирования по однородному параметру S:

 .

 Поскольку в начальный момент времени скорость была равна v1, а в конце стала равной v2, то

  и есть кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v.

 Если учесть, что mv=p – импульс тела, то можно получить

  , откуда, кстати,

2) Релятивистское соотношение кинетической энергии (v»c).

 Пусть тело (частица) ускоряется при прямолинейном движении вдоль постоянной силой F (рис.6.8), работа которой будет трансформироваться в прирост кинетической энергии

 , причем мы не можем, как раньше, выносить m за знак дифференцирования как константу, потому что при v~c m¹const. Поскольку , поменяем порядок дифференцирования по координате

   (1)

 Рассмотрим теперь подробнее релятивистское выражение для массы

 

 Упростим последнее выражение

 m2c2 – m2v2 = mo2c2Þ m2c2 = mo2c2 + m2v2 и продифференцируем с учетом условия mo = const и c=const:

 2c2m×dm = 2mv2dm + 2m2v×dv½: 2m.

 Получаем с2dm = v2dm + mv×dv (2)

 Сравним правые части уравнений (1) и (2) и приравняем левые части этих уравнений

 dT = c2dm.

 Проинтегрируем последнее равенство при учете, что при v=0 T=0, a m=mo

 

Итак,

Понятно, что Ео =moc2 – энергия покоя тела, а mc2 – полная энергия тела, а их разность Т и есть кинетическая энергия, энергия, обусловленная движением тела.

Следствия:

Выражение Ео =moc2, впервые полученное Эйнштейном, характеризует полный запас энергии, содержащийся в любом теле.

Из релятивистского соотношения кинетической энергии привычное

может быть легко получено в предельном случае vÞ0. Действительно, при v<<c

При релятивистском движении иначе выглядит и уравнение связи импульса частицы с её кинетической энергией

Полная механическая энергия системы. Закон сохранения  энергии.

Из всего выше сказанного о механической энергии следует, что полная энергия изолированной физической системы может быть представлена в виде суммы

Eполн = T + U + Eo.

Полная механическая энергия изолированной физической системы остается величиной постоянной – это и есть фундаментальный закон сохранения энергии.

  От более полной формулировки о сохранении всей энергии нас удерживает лишь необходимость учета внутренней энергии – энергии движения частиц, из которых состоит любое реальное тело, иначе эта энергия называется количеством тепла Q, запасенного телом. Если учесть и эту энергию, то можно утверждать справедливость закона сохранения и эквивалентного превращения энергии при любых процессах, происходящих в замкнутой физической системе.

В качестве оного из примеров можно взять машиностроение. Еще не так давно изучение колебаний здесь не придавалось особого значения, и расчеты на прочность велись на основе статических представлений о зависимости деформаций от нагрузок. Однако вместе со стремлением к увеличению числа оборотов и уменьшению габаритов при переходе к скоростному машиностроению пренебрегать ролью колебаний стало уже невозможно. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок из-за возбуждения колебаний, сделали необходимым для конструкторов и инженеров тщательное исследование возможных вибраций узлов машин и оценку их интенсивности. С развитием физики и математики большую роль теория колебаний сыграла в авиации (эффекты шимми), космонавтики и т.д.

Математика

Реакторы