Электроника Физика Электротехника Полупроводниковые материалы Теория конструктивных материалов Курс черчения Контольная работа

Конспект курса лекций по физике. Законы Ньютона

Потенциальная энергия тяготения двух тел.

 Рассмотрим потенциальную энергию физической системы, в которой осуществляется фундаментальное гравитационное взаимодействие, на примере взаимодействия двух тел. Тогда их сила взаимодействия определяется законом всемирного тяготения:

 

 Пусть силы гравитации совершат работу dA = F(r)×dr и сблизят тела от положения r1 до r2, причем r2<r1 (рис 6.7).

 

 Рис.6.7. Перемещение тела под действием гравитационной силы F.

 Совершенная при этом работа может быть найдена путем интегрирования:

 Эта работа будет совершена за счет потенциальной энергии системы, запас которой уменьшится на величину DU.

 Заметим, что в скобках производится операция с двумя отрицательными величинами.

 Следовательно, потенциальная энергия системы двух тел, расположенных на расстоянии r друг от друга, и взаимодействующих за счет сил гравитации, описывается выражением

 Вспомним теперь об условии UÞ0 при r Þµ. Следовательно, само значение потенциальной энергии тяготения всегда отрицательно, лишь её изменение может быть величиной положительной. Максимальное значение потенциальной энергии гравитационного поля равно 0!

 Таким образом, в приведенной выше функции Кулона для описания потенциальной энергии для гравитационного взаимодействия коэффициент a=- g ×m1m2, для электростатического взаимодействия a = kq1q2, а потенциальная энергия электростатического поля равна

Потенциальная энергия поля тяготения Земли.

  В частном случае поля тяготения Земли введем обозначение m2 = MЗ, а линейную координату будем рассматривать как сумму r = RЗ + h, где RЗ – радиус Земли, которую мы для простоты будем полагать однородной сферой, h – высота поднятия тела.

 В этом случае потенциальная энергия частицы массой m будет равна

 

 Подчеркнем, что закон всемирного тяготения в записанной выше форме справедлив не только для точечных масс, но и для тел сферической формы однородного по плотности строения. Т.е. в случае тел сферической формы поле носит кулоновский характер, имеет центральную симметрию.

 Рассмотрим последнюю полученную формулу при h<<RЗ (до ~10%).

Тогда  и в этом случае дробь  с тем большей точностью, чем h меньше R (используется известное из математики соотношение  при a<<1).

Следовательно, можно записать

Первый член равенства является постоянной величиной, не зависящей от h, и поэтому несуществен (он будет исчезать при дифференцировании при, например, определении силы тяготения Земли, или при определении разности DU). Второй член известен из школьного курса общей физики, если положить  - ускорению свободного падения, имеющему смысл напряженности силового поля Земли.

Тогда U(h) = mgh, стало быть, эту формулу можно применять лишь при h<<RЗ.

Заметим в заключение, что потенциальными силами с центральной симметрией являются также силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия. Другие фундаментальные силы (в частности, ядерные) не обладают центральной симметрией.

Кинетическая энергия.

 Выше подчеркивалось, что механическая работа, которую может совершить физическая система, определяется разностью энергий системы в конечном и начальном состояниях

 

 Работа, которую система (тело) может совершить вследствие изменения состояния своего движения, характеризует кинетическую энергию системы (тела).

 Определяющими параметрами здесь являются скорость и импульс тела.

 1) Нерелятивистское соотношение для кинетической энергии (v<<c).

  Пусть под действием некоторой силы F тело массой m=const при прямолинейном движении увеличило свою скорость от v1 до v2 (рис.6.8). Сила в общем случае может изменяться от точки к точке, т.е. F = F(S).

 

 Рис.6.8. К выводу кинетической энергии.

 Разбиваем участок S на отрезки dS, достаточно малые, чтобы считать F=const. Тогда Учитывая - мгновенное значение силы на отрезке dS, получаем, после замены порядка дифференцирования по однородному параметру S:

 .

 Поскольку в начальный момент времени скорость была равна v1, а в конце стала равной v2, то

  и есть кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью v.

 Если учесть, что mv=p – импульс тела, то можно получить

  , откуда, кстати,

2) Релятивистское соотношение кинетической энергии (v»c).

 Пусть тело (частица) ускоряется при прямолинейном движении вдоль постоянной силой F (рис.6.8), работа которой будет трансформироваться в прирост кинетической энергии

 , причем мы не можем, как раньше, выносить m за знак дифференцирования как константу, потому что при v~c m¹const. Поскольку , поменяем порядок дифференцирования по координате

   (1)

 Рассмотрим теперь подробнее релятивистское выражение для массы

 

 Упростим последнее выражение

 m2c2 – m2v2 = mo2c2Þ m2c2 = mo2c2 + m2v2 и продифференцируем с учетом условия mo = const и c=const:

 2c2m×dm = 2mv2dm + 2m2v×dv½: 2m.

 Получаем с2dm = v2dm + mv×dv (2)

 Сравним правые части уравнений (1) и (2) и приравняем левые части этих уравнений

 dT = c2dm.

 Проинтегрируем последнее равенство при учете, что при v=0 T=0, a m=mo

 

Итак,

Понятно, что Ео =moc2 – энергия покоя тела, а mc2 – полная энергия тела, а их разность Т и есть кинетическая энергия, энергия, обусловленная движением тела.

Следствия:

Выражение Ео =moc2, впервые полученное Эйнштейном, характеризует полный запас энергии, содержащийся в любом теле.

Из релятивистского соотношения кинетической энергии привычное

может быть легко получено в предельном случае vÞ0. Действительно, при v<<c

При релятивистском движении иначе выглядит и уравнение связи импульса частицы с её кинетической энергией

Полная механическая энергия системы. Закон сохранения  энергии.

Из всего выше сказанного о механической энергии следует, что полная энергия изолированной физической системы может быть представлена в виде суммы

Eполн = T + U + Eo.

Полная механическая энергия изолированной физической системы остается величиной постоянной – это и есть фундаментальный закон сохранения энергии.

  От более полной формулировки о сохранении всей энергии нас удерживает лишь необходимость учета внутренней энергии – энергии движения частиц, из которых состоит любое реальное тело, иначе эта энергия называется количеством тепла Q, запасенного телом. Если учесть и эту энергию, то можно утверждать справедливость закона сохранения и эквивалентного превращения энергии при любых процессах, происходящих в замкнутой физической системе.

В качестве оного из примеров можно взять машиностроение. Еще не так давно изучение колебаний здесь не придавалось особого значения, и расчеты на прочность велись на основе статических представлений о зависимости деформаций от нагрузок. Однако вместе со стремлением к увеличению числа оборотов и уменьшению габаритов при переходе к скоростному машиностроению пренебрегать ролью колебаний стало уже невозможно. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок из-за возбуждения колебаний, сделали необходимым для конструкторов и инженеров тщательное исследование возможных вибраций узлов машин и оценку их интенсивности. С развитием физики и математики большую роль теория колебаний сыграла в авиации (эффекты шимми), космонавтики и т.д.

На главную сайта: Курс физики