Потенциальная энергия тяготения двух тел.
Рассмотрим потенциальную энергию физической системы, в которой осуществляется фундаментальное гравитационное взаимодействие, на примере взаимодействия двух тел. Тогда их сила взаимодействия определяется законом всемирного тяготения:
Пусть силы гравитации совершат работу dA = F(r)×dr и сблизят тела от положения r1 до r2, причем r2<r1 (рис 6.7).
Рис.6.7. Перемещение тела под действием гравитационной силы F.
Совершенная при этом работа может быть найдена
путем интегрирования:
Эта работа будет совершена за счет потенциальной энергии системы, запас которой уменьшится на величину DU.
Заметим, что в скобках производится операция с двумя отрицательными величинами.
Следовательно, потенциальная энергия системы
двух тел, расположенных на расстоянии r друг от друга, и взаимодействующих за
счет сил гравитации, описывается выражением 
Вспомним теперь об условии UÞ0 при r Þµ. Следовательно, само значение потенциальной энергии тяготения всегда отрицательно, лишь её изменение может быть величиной положительной. Максимальное значение потенциальной энергии гравитационного поля равно 0!
Таким образом, в приведенной выше функции Кулона для описания
потенциальной энергии для гравитационного взаимодействия коэффициент a=-
g ×m1m2,
для электростатического взаимодействия a
= kq1q2, а потенциальная энергия электростатического поля равна 
Потенциальная энергия поля тяготения Земли.
В частном случае поля тяготения Земли введем обозначение m2 = MЗ, а линейную координату будем рассматривать как сумму r = RЗ + h, где RЗ – радиус Земли, которую мы для простоты будем полагать однородной сферой, h – высота поднятия тела.
В этом случае потенциальная энергия частицы массой m будет равна
Подчеркнем, что закон всемирного тяготения в записанной выше форме справедлив не только для точечных масс, но и для тел сферической формы однородного по плотности строения. Т.е. в случае тел сферической формы поле носит кулоновский характер, имеет центральную симметрию.
Рассмотрим последнюю полученную формулу при h<<RЗ (до ~10%).
Тогда 
и в этом случае дробь 
с тем большей точностью, чем h меньше R (используется
известное из математики соотношение 
при a<<1).
Следовательно, можно записать
Первый член равенства является постоянной величиной,
не зависящей от h, и поэтому несуществен (он будет исчезать при дифференцировании
при, например, определении силы тяготения Земли, или при определении разности
DU). Второй член известен из школьного курса
общей физики, если положить 
- ускорению свободного падения, имеющему смысл напряженности
силового поля Земли.
Тогда U(h) = mgh, стало быть, эту формулу можно применять лишь при h<<RЗ.
Заметим в заключение, что потенциальными силами с центральной симметрией являются также силы межатомного и межмолекулярного взаимодействия. Другие фундаментальные силы (в частности, ядерные) не обладают центральной симметрией.
Кинетическая энергия.
Выше подчеркивалось, что механическая работа, которую может совершить физическая система, определяется разностью энергий системы в конечном и начальном состояниях
Работа, которую система (тело) может совершить вследствие изменения состояния своего движения, характеризует кинетическую энергию системы (тела).
Определяющими параметрами здесь являются скорость и импульс тела.
1) Нерелятивистское соотношение для кинетической энергии (v<<c).
Пусть под действием некоторой силы F тело массой m=const при прямолинейном движении увеличило свою скорость от v1 до v2 (рис.6.8). Сила в общем случае может изменяться от точки к точке, т.е. F = F(S).
Рис.6.8. К выводу кинетической энергии.
Разбиваем участок S на отрезки dS, достаточно малые, чтобы считать
F=const. Тогда 
Учитывая 
- мгновенное значение силы на отрезке dS, получаем, после
замены порядка дифференцирования по однородному параметру S:
.
Поскольку в начальный момент времени скорость была равна v1, а в конце стала равной v2, то
и есть кинетическая энергия тела массой m, движущегося
со скоростью v.
Если учесть, что mv=p – импульс тела, то можно получить
, откуда, кстати, 
2) Релятивистское соотношение кинетической энергии (v»c).
Пусть тело (частица) ускоряется
при прямолинейном движении вдоль 
постоянной
силой F (рис.6.8), работа которой будет трансформироваться в прирост кинетической
энергии
, причем мы не можем, как раньше, выносить m за знак дифференцирования
как константу, потому что при v~c m¹const. Поскольку 
, поменяем порядок дифференцирования по координате
(1)
Рассмотрим теперь подробнее релятивистское выражение для массы
Упростим последнее выражение
m2c2 – m2v2 = mo2c2Þ m2c2 = mo2c2 + m2v2 и продифференцируем с учетом условия mo = const и c=const:
2c2m×dm = 2mv2dm + 2m2v×dv½: 2m.
Получаем с2dm = v2dm + mv×dv (2)
Сравним правые части уравнений (1) и (2) и приравняем левые части этих уравнений
dT = c2dm.
Проинтегрируем последнее равенство при учете, что при v=0 T=0, a m=mo
Итак, 
Понятно, что Ео =moc2 – энергия покоя тела, а mc2 – полная энергия тела, а их разность Т и есть кинетическая энергия, энергия, обусловленная движением тела.
Следствия:
Выражение Ео =moc2, впервые полученное Эйнштейном, характеризует полный запас энергии, содержащийся в любом теле.
Из
релятивистского соотношения кинетической энергии привычное 
может быть легко получено в предельном случае vÞ0. Действительно, при v<<c
При релятивистском движении иначе выглядит и уравнение связи импульса частицы с её кинетической энергией
Полная механическая энергия системы. Закон сохранения энергии.
Из всего выше сказанного о механической энергии следует, что полная энергия изолированной физической системы может быть представлена в виде суммы
Eполн = T + U + Eo.
Полная механическая энергия изолированной физической системы остается величиной постоянной – это и есть фундаментальный закон сохранения энергии.
От более полной формулировки о сохранении всей энергии нас удерживает лишь необходимость учета внутренней энергии – энергии движения частиц, из которых состоит любое реальное тело, иначе эта энергия называется количеством тепла Q, запасенного телом. Если учесть и эту энергию, то можно утверждать справедливость закона сохранения и эквивалентного превращения энергии при любых процессах, происходящих в замкнутой физической системе.