Электроника Физика Электротехника Полупроводниковые материалы Теория конструктивных материалов Курс черчения Контольная работа

Конспект курса лекций по физике. Постоянный ток

Основы классической электронной теории

Электронная теория проводимости металлов была впервые создана П. Друде в 1900 г. и получила дальнейшее развитие в работах Г. Лоренца. С точки зрения классической электронной теории высокая электропроводность металлов объясняется наличием огромного числа носителей тока - электронов проводимости, перемещающихся по всему объему проводника. Друде предположил, что электроны проводимости в металле можно рассматривать как электронный газ, обладающий свойствами идеального одноатомного газа. При своем движении электроны проводимости сталкиваются с ионами кристаллической решетки металла. Поэтому можно говорить о средней длине свободного пробега электронов , которая по порядку величины должна быть равной периоду кристал­лической решетки металла, т. е. 10 -8 см.

Пользуясь закономерностями кинетической теории газов, определим среднюю кинетическую энергию теплового движения электронов:

 

где m - масса, а vкв — средняя квадратичная скорость электронов. При температуре 0°С vкв »110 км/сек. Таков же порядок величины средней арифметической скорости uар теплового движения электронов.

Тепловое движение электронов вследствие своей хаотичности не может привести к возникновению электрического тока.

Под действием внешнего электрического поля в металлическом проводнике возникает упорядоченное движение электронов, т. е. возникает электрический ток. Плотность тока j равна общему заряду всех электронов, которые проходят за одну секунду через единицу площади поперечного сечения проводника. Эти электроны заключены в объеме цилиндра, площадь основания которого равна единице, а высота - средней скорости  упорядоченного движения электронов под действием внешнего электрического поля. Если в единице объема находится no электронов, то численное значение плотности тока выразится формулой

. (20.23)

Оценим порядок величины средней скорости  упорядоченного движения электронов. Для провода из определенного материала и заданного сечения существует максимальная технически допустимая нагрузка, превышение которой приводит к опасному перегреву провода. Например, для изолированного медного провода с сечением в 1 мм2 наибольшая допустимая плотность тока равна 11 • 106 A/м2. Так как для меди объемная плотность электронов про­водимости no » 8,5×1028 м -3, а абсолютная величина заряда электрона е = 1,6×10 -19 Кл, то по формуле (20.23) средняя скорость движения электронов при этих условиях оказывается равной:

Таким образом, средняя скорость упорядоченного движения электронов, обусловливающая наличие электрического тока в проводнике, чрезвычайно мала по сравнению со средней скоростью их теплового движения при обычных температурах. Незначительная величина средней скорости  объясняется весьма частыми столкно­вениями электронов с ионами кристаллической решетки.

Как согласовать очень малую величину этой скорости электронов с практически мгновенной передачей электрических, например, телеграфных, сигналов на очень большие расстояния?

Замыкание электрической цепи на станции отправления влечет за собой распространение электрического поля в проводах и вокруг них. Всякое изменение электрического поля передается вдоль проводов с огромной скоростью с, равной 3×108 м/сек (скорости света). Таким образом, спустя время  где L -длина провода, вдоль цепи установится стационарное поле и в ней начнется упорядоченное движение электронов проводимости. Если L = 1000 м, то t = 0,3 • 10 -5 сек. Поэтому движение электронов под действием внешнего электрического поля возникает на всем протяжении провода практически одновременно с подачей сигнала.

Вывод законов Ома и Джоуля—Ленца в классической электронной теории

Важнейшей задачей классической электронной теории проводимости металлов является теоретический вывод основных законов электрического тока - законов Ома и Джоуля-Ленца, установленных опытным путем. Рассмотрим вывод этих законов.

1. Предположим, что при соударениях с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения, которую они приобретают под действием внешнего электрического поля за время t свободного пробега. В процессе свободного пробега электроны движутся равноускоренно. Поэтому средняя скорость упорядоченного движения электронов равна:

где макс—среднее значение максимальной скорости, приобретаемой электроном под действием электрического поля за время свободного пробега.

Пусть т—масса электрона, е—его заряд и Е—напряженность стационарного электрического поля в проводнике. Тогда уравнение движения электрона имеет следующий вид

 

Интегрируя это уравнение по v от 0 до vмакс и по t от 0 до t (t - средняя продолжительность свободного пробега электрона), получаем:

  (20.24)

и

 . (20.25)

Среднее время свободного пробега электронов можно выразить через среднюю длину свободного пробега  и среднюю скорость движения электронов относительно кристаллической решетки проводника. Эта скорость равна сумме средней скорости   их теплового движения и средней скорости и упорядоченного движения. Поэтому

Выше было показано, что . Поэтому в предыдущей формуле величиной   по сравнению с  можно пренебречь

Подставим значение  в формулу (20.25):

  (20.25`)

Заменив в (20.24)  его выражением из (20.25`), получим:

 . (20.26)

Величина

 

называется удельной электропроводностью, а обратная ей величина  - удельным сопротивлением проводника.

Следовательно,

  (20.27)

Формула (20.27) совпадает с (20.12) и выражает закон Ома в дифференциальной форме для плотности тока:

плотность тока в проводнике равна произведению удельной проводимости проводника на напряженность электрического поля.

Векторы Е и j имеют одинаковое направление. Поэтому закон Ома можно записать также в векторной форме (20.12).

Рассмотрим превращение энергии, происходящее при соударениях электронов проводимости с узлами кристаллической решетки. В конце свободного пробега каждый электрон теряет скорость упорядоченного движения. Средняя энергия, передаваемая при этом электроном тому иону, с которым он столкнулся, равна . За единицу времени электрон в среднем претерпевает   столкновений с узлами решетки, причем

  (20.28)

Все по электронов проводимости, находящихся в единице объема проводника, испытывают  столкновений в единицу времени и передают узлам решетки металла энергию, которая идет на увеличение теплового движения ионов металла, т. е. на нагревание проводника

 (20.29)

 Подставив в (20.29) выражения для  из (20.28) и  из (20.24), получим величину энергии, которая передается ионам решетки в единице объема проводника за единицу времени:

  (20.30)

Эта величина по своему физическому смыслу является плотностью тепловой мощности тока, рассмотренная нами в уравнении (20.17).

Коэффициент есть не что иное, как удельная электропроводность

металла, поэтому (20.30) можно записать в следующем виде:

. (20.31)

Формула (20.31) представляет математическое выражение закона Джоуля—Ленца для плотности тепловой мощности тока:

плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электропроводности на квадрат напряженности электрического поля,

и совпадает с ранее полученным выражением (20.19) дифференциальной формы закона.

В приведенных выше выводах законов Ома и Джоуля—Ленца мы предполагали, что при соударениях электронов с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения. Г. Лоренц показал, что это предположение несущественно. К тем же результатам можно прийти, считая, что соударения электронов с узлами решетки являются абсолютно упругими.

Лишь после 20-х годов настоящего столетия, после работ Карсона, Дейча, Бромвича и др., математическая сторона символического метода начала существенно проясняться, связываясь с преобразованием Лапласа и мощными методами теории функций комплексного переменного. Вопросам теории и приложения символических методов в настоящее время посвящена обширная литература Поэтому в курсе, который вы будете изучать, в этом семестре будут, представлены методы позволяющие, проанализировать процессы, происходящие в таких системах.

На главный сайта: Курс физики