Контрольная
Культура
Электротехника
Лабораторные
Школьный курс
Термех
Курсовая
Атомные станции

Лекции

Черчение
Физика
Реакторы
Интеграл
Выполнение чертежей
Конспект
На главную

Конспект курса лекций по физике. Электромагнитные колебания

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.

Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Рэлеем (1842—1919), А. Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П. Н. Лебедевым (1866—1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л. И. Мандельштам (1879—1944) и его ученики. Их усилиями создана универсальная теория колебаний, очень сильно обеспеченная математическим аппаратом – в основном, теорией дифференциальных уравнений.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины x описываются уравнением типа

x = A×cos(wot + jo), (26.1)

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, wo - круговая (циклическая) частота, jo - начальная фаза колебания в момент времени t = 0, (wot + jo) — фаза колебания в момент времени t, измеряется в радианах (рад). Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то x может принимать значения от +А до -А.

 x - «обобщенная» координата, это может быть и просто смещение, измеряемое в метрах, или электрическое напряжение в контуре (вольты), величина электрического заряда на обкладках конденсатора (Кл), ток в контуре (А) и т.п.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который

фаза колебания получает приращение 2p,

 (26.2)

Величина, обратная периоду колебаний,

  (26.3)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется просто частотой колебаний. Сравнивая (26.2) и (26.3), получим wо = 2pn.

Единица частоты – герц (Гц): 1Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается один цикл процесса (например, одно колебание маятника).

Запишем первую и вторую производные по времени от изменяющейся по гармоническому закону величины x :

 (26.4)

 (26.5)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (26.4) и (26.5) соответственно равны Аw и Аw2. Фаза величины (26.4) отличается от фазы величины (26.1) на p/2, а фаза величины (26.5) отличается от фазы величины (26.1) на p. Следовательно, в моменты времени, когда x = 0, dx/dt приобретает наибольшие значение, когда же x достигает максимального отрицательного значения, то d2x/dt2 приобретает наибольшее положительное значение (рис.26.1).

 Рис.26.1. Зависимость обобщенной координаты и ее первой и второй производных от времени.

Из выражения (26.5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний 

  (26.6)

(где x = A cos (wot +j)). Решением этого уравнения является выражение (26.1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси Х, под углом j, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис.26.2).

 

Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью wо, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси Х и принимать значения от -А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону x = A cos (wot +j). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью wо вокруг этой точки.

Из векторной диаграммы следует также, что выбор в качестве образующей функции “sin” соответствует анализу движения проекции вектора А не на ось Х, а на ось Y (с соответствующим сдвигом по фазе на p/2).

В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

  (26.7)

где  - мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (26.1) можно записать в комплексной форме:

  (26.8)

Вещественная часть выражения (26.8)

 

представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части обычно опускают и (26.8) записывают в виде

 

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина x равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени). Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала. Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).

Математика

Реакторы