Электроника Физика Электротехника Полупроводниковые материалы Теория конструктивных материалов Курс черчения Контольная работа

Конспект курса лекций по физике. Электромагнитные колебания

Гармонический осциллятор.

 Единая теория колебаний при анализе математически идентичных физических систем использует обобщающее понятие гармонического осциллятора, не различающего в принципе колебательные процессы в электрическом колебательном контуре и в системах, совершающих механические колебания.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (26.1):

x = A×cos(wot + jo)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными).

Незатухающие механические колебания.

Пружинный, физический и математический маятники

1. Пружинный маятник — это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = - kx (рис.26.2,б), где k – жесткость пружины. Уравнение движения маятника

  (26.17)

Из выражений (26.11) и (26.12) следует, что формула (26.17) является дифференциальным уравнением движения пружинного маятника, который совершает гармонические колебания по закону х = A×cos(wot + j) с циклической частотой

  (26.18)

и периодом

  (26.19) 

Формула (26.19) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука , т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна

 

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 26.3).

 Рис.26.3. Физический маятник.

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в виде

 (26.20)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l - расстояние между ней и центром масс маятника, Ft = - mgsina » -mga - возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны; sina » a соответствует малым колебаниям маятника, т. е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (26.20) можно записать в виде

 

Принимая

  (26.21) 

получим уравнение

 

идентичное с (26.11), решение которого известно:

   (26.22)

Из выражения (26.22) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой wo (см. (26.21)) и периодом

 (26.23)

где  - приведенная длина физического маятника.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника, как материальной точки

 J = m2, (26.24)

где  - длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (26.24) в формулу (26.23), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

 (26.25)

Сравнивая формулы (26.23) и (26.25), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени). Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала. Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).

На главный сайта: Курс физики