Электроника Физика Электротехника Полупроводниковые материалы Теория конструктивных материалов Курс черчения Контольная работа

Конспект курса лекций по физике. Электромагнитные колебания

Энергия свободных механических колебаний

Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний, как мы выяснили выше, происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения из положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Ерmax:

 (26.26)

при прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Екmax :

  (26.27)

 (выше было показано, что амплитуда скорости равна аwо. Легко видеть, что выражения (26.26) и (26.27) равны друг другу, так как mwo2 = k.

Выясним, как изменяется со временем кинетическая Eк и потенциальная Ер энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна

  (26.28)

Потенциальная энергия выражается формулой

   (26.29)

 Складывая (26.28) и (26.29), получим:

 (26.30)

что совпадает с (26.26) и (26.27). Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной.

  Рис. 26.3. Энергия гармонического колебания.

На рис. 26.3 сопоставлены графики для х, Eк и Ер. Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине. Следовательно, среднее значение Eк совпадает со средним значением Ер и равно ½, а частота изменений Eк и Ер составляет 2wо, что можно получить аналитически, из известных тригонометрических представлений.

Свободные затухающие электромагнитные колебания

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис.26.4). Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают.

Уравнение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на емкости, индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:

Рис.26.4. Колебательный контур с затуханием колебаний.

Разделив это выражение на L и заменив i через , а  через  получим

  (26.31)

Учтя, что  равно квадрату собственной частоты контура [см. формулу (26.10)], и введя обозначение

  (26.32)

уравнению (26.31) можно придать вид

   (26.33)

Последнее уравнение называют каноническим дифференциальным уравнением затухающих электромагнитных колебаний. При условии, что b2<wo2 т. е.

решение уравнения (2628) имеет вид

 q = qome-btcos(wt + a),  (26.34)

где . Подставляя значение (26.10) для wo и (26.32) для b, находим, что

  (26.35)

Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты wо. При R = 0 выражение (26.35) переходит в (26.10).

Разделив (26.34) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:

 (26.36)

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (26.34) по времени и после несложных преобразований получим:

 (26.37)

где Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на p/2 (при R = 0 опережение составляет p/2).

  График функции (26.34) изображен на рис.26.5. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Рис.26.5. График затухающих колебаний.

Параметры затухания колебаний

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом затухания D, логарифмическим декрементом затухания l и добротностью контура Q.

Декрементом затухания D называется отношение двух соседних амплитуд, отстоящих друг от друга на один период (рис. 26.6).

Логарифмический декремент затухания l есть натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, отстоящих друг от друга на один период.

Добротностью контура называется величина, пропорциональная числу колебаний, совершаемых до тех пор, пока амплитуда не уменьшится в е раз .

 Итак,  

, (26.38)

где А(t)—амплитуда соответствующей величины (q, U или i).

Рис.26.5.

Легко проверить, что логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз:

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

.  (26.39)

Из (26.39) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. Взяв вместо l его значение bТ получим

Если затухание невелико (b2<<wo2), можно положить . Тогда [согласно (26.27) ]. Таким образом, в случае несильного затухания

 (26.40)

Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону е-bt . Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амплитуды напряжения на конденсаторе); следовательно, W убывает по закону е-2bt. Относительное уменьшение энергии за период равно

При незначительном затухании (т. е. при условии, что l<<1) е-2l можно приближенно заменить через 1- 2l:

 

Заменив в этом выражении l через добротность контура Q в соответствии с формулой (26.39) и решив полученное уравнение относительно Q, получим

  (26.41)

Итак, при слабом затухании добротность контура оказывается пропорциональной отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за один период колебания.

В заключение отметим, что при  вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора (рис.26.7).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rк определяется условием  откуда 

  (26.42) 

Заметим еще, что время за которое амплитуда уменьшается в е раз, называется временем релаксации t, t = 1/l.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т.е. коэффициентами, зависящими от аргумента (времени). Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит деформация спектра входного сигнала. Кроме такой классификации колебательные системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными параметрами) и сплошные (с распределенными параметрами).

На главный сайта: Курс физики