Линейные цепи постоянного тока Электрическая энергия и электрическая мощность Магнитное поле и магнитные цепи Электрические машины переменного тока Однофазный асинхронный двигатель

Курс лекций и примеры решения задач по электротехнике.

Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

  Широкое распространение на практике получил метод расчета цепей синусоидального тока, который принято называть комплексным. Сущность метода состоит в том, что синусоидальные токи, напряжения и ЭДС изображаются комплексными числами, а геометрические операции над векторами заменяются алгебраическими операциями над комплексными числами. Этот метод позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока.

Векторное представление синусоидальных величин

Вращающийся вектор, который изображает синусоидальную функцию, можно поместить на комплексную плоскость, в систему перпендикулярных осей:   – действительных чисел,  – мнимых чисел. Положительные направления осей на комплексной плоскости обозначаются индексами: +1 – ось действительных чисел; + – ось мнимых чисел, где = – мнимая единица (рис. 2.17).

  а) б) в)

Рис. 2.17

 Известно, что координаты точки на комплексной плоскости определяются радиусом–вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 2.17 а).

 Показательная форма записи

где  – модуль; – аргумент или фаза, отсчитываемая от оси +1 против часовой стрелки.

 Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую и соответственно алгебраическую форму записи комплексного числа:

,

где .

 Очевидно

.

 Заменим в уравнении для показательной формы записи  на , а на . Получим комплекс тока

,  (2.39)

который является символическим (комплексным) изображением функции   и называется комплекс мгновенного значения тока.

Переходные процессы в электрических сетях Понятие переходного процесса При изучении предыдущего материала рассматривались установившиеся режимы работы электрических цепей с сосредоточенными параметрами, т.е. режимы, которые устанавливаются в цепи при неизменных напряжении, токе, сопротивлении и др.

Комплекс полного сопротивления и комплекс полной проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Электрические цепи с взаимной индуктивностью

Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек

Переходный и свободный процессы Переходный процесс в электрической цепи можно представить в виде двух составляющих: установившегося и свободного.

Включение резистора и катушки на постоянное напряжение

Цепи синусоидального тока Причин отличия кривых токов и напряжений от синусоидальной формы несколько. Во-первых, в генераторах переменного тока кривая распределения магнитной индукции вдоль воздушного зазора из-за конструктивного несовершенства машин может отличаться от синусоиды. Это приводит к возникновению в обмотках несинусоидальной ЭДС.

 Комплексы обозначаются теми же буквами, что и их действительные оригиналы, только с чертой внизу. Модуль комплекса мгновенного значения   равен амплитуде синусоидального тока , а его переменный аргумент () является аргументом изображаемой синусоиды (рис. 2.17 б). Из формулы (2.39) можно записать комплекс тока в тригонометрической форме

,

а также получить изображение функции (оригинала)

,  (2.40)

т.е. мгновенное значение тока равно мнимой части комплекса мгновенного значения тока. Ток (2.39) можно представить в виде

,

где  является другим символом, называемым комплексом амплитудного значения. Это аналитическое представление неподвижного вектора, длина которого равна амплитуде тока, а угол между направлениями вектора и осью «+1» на комплексной плоскости равен начальной фазе   (рис. 2.17 в). Комплексом действующего значения называют изображение

  Пример 2.2. Записать комплексы действующих значений напряжения и тока, если их мгновенные значения представлены уравнениями

, А.

 Решение. Действующее значение напряжения =200 В, начальная фаза  = –120°. В соответствии с определением комплекс действующего значения напряжения

  В.

 Аналогично для тока  = 14,1 А, начальная фаза тока  = –60°, а комплекс тока

  А.

 Пример 2.3. Для комплекса действующего значения напряжения

  B

записать мгновенное значение.

 Решение. От алгебраической формы переходим к показательной

  B,

где  В; .

Комплекс находится во второй четверти комплексной плоскости.

 Мгновенное значение напряжения

, B.

 В заключение рассматриваемого вопроса рекомендуем усвоить следующие очевидные равенства

;  и т.д.

;

.

  Отметим, что умножение на оператор  означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, а умножение на  означает поворот вектора на 90° по часовой стрелке.

При обходе замкнутого контура по часовой стрелке (или против часовой стрелки) э.д.с. и токи, направления которых совпадают с принятым направлением обхода, следует считать положительными, а э.д.с. и токи, направленные встречно, — отрицательными.

Для примера рассмотрим замкнутый контур ADFMNA (рис. 1.6). При указанных на рисунке направлениях токов и э.д.с. и принятом обходе этого контура по часовой стрелке уравнение второго закона Кирхгофа принимает следующий вид:

В некоторых расчетах оказывается более удобным пользоваться уравнением второго закона Кирхгофа, записанным как

Здесь часть слагаемых Ir, относящаяся к определенным участкам контура, заменена напряжениями U на этих участках.

Цепи с последовательным соединением. Если электрическая цепь состоит из нескольких последовательно соединенных участков с сопротивлениями r1, r2, r3, r4 (рис. 1.7), то через все участки протекает один и тот же ток I.

При отсутствии на участках цепи собственных э.д.с. общее напряжение U, приложенное к зажимам всей цепи, равно сумме падений напряжения на отдельных элементах цепи (второй закон Кирхгофа):

Из этого выражения следует, что обшее сопротивление r равно сумме сопротивлений всех последовательно соединенных элементов цепи, а напряжения между элементами распределяются прямо пропорционально их сопротивлениям.

Если уравнение (1.14) умножить на I, то получим

т. е. общая мощность P, потребляемая цепью, равна сумме мощностей, потребляемых отдельными ее элементами.


На главный сайта: Курс Электротехники