Контрольная по математике Школьный курс математики Вычисление интегралов Неопределенный интеграл Вычислить криволинейный интеграл Двойной интеграл Тройной интеграл

Математика решение задач курсовой работы

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой которая называется универсальной.

Действительно, 

Поэтому

где рациональная функция от Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1) если функция нечетна относительно  то есть то подстановка  рационализирует интеграл;

2) если функция  нечетна относительно то есть то делается подстановка

3) если функция четна относительно  и  то интеграл рационализируется подстановкой  

Для нахождения интегралов типа  используются следующие приемы:

1) подстановка  если целое положительное нечетное число;

2) подстановка  если целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения порядка: 

   если  и целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка  если есть четное отрицательное целое число.

Интегралы типа    вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Пример 32. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой  Тогда  Следовательно,

Возвращаясь к переменной интегрирования  получим

Пример 33. Найти интеграл

Решение. Так как  то полагаем    тогда

Данный интеграл примет вид:

Возвращаясь к данной переменной интегрирования получим:

Пример 34. Найти интеграл

Решение. Так как

то воспользуемся подстановкой

Тогда получим интеграл

Вернемся к исходной переменной

Пример 35. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция   Воспользуемся подстановкой  тогда    Получим интеграл

Переходя к данной переменной интегрирования  получим

Пример 36. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

Воспользуемся формулой понижения порядка для первого множителя:

Получили интеграл:

Рассмотрим первый интеграл:

Во втором интеграле положим  тогда   

Подставляя полученные результаты, имеем

Пример 37. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся формулой

Пример 38. Найти интеграл

Решение. Применяя формулу

  получим 

  Пример 39. Найти интеграл  

Решение. Используя формулу  получим

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.   2.  3.  4.

5.   6.  7.

8.   9.  10.

11.   12.  13.

14.   15.

Ответы. 1.  2.

3.   4.  5.

6.   7.  8.

9.   10.

11.12.  13. 

14.   15.


На главный раздел сайта: Курс математики