Приложения определенного интеграла
Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.
1). Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой 
(
непрерывна), прямыми 
и осью 
вычисляется по формуле
(2.15)
Площадь
фигуры, ограниченной кривой (
), непрерывная, прямыми 
и осью 
равна
(2.16)
Площадь
фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми 
и 
(
) и двумя прямыми 
и находится по формуле
(2.17)
Если
плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси 
её
следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы
Здесь
непрерывные и неотрицательные функции и 
пересекаются в точке с абциссой 
(2.18)
Пример 54. Найти площадь фигуры,
ошраниченной осью графиком функции 
прямыми 
и 
Решение. Графиком функции 
является парабола, симметричная относительно оси ветви
которой направлены вверх, вершина лежит в точке с координатами (0;2).
Найдем площадь фигуры по формуле (2.15)
Пример 55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и 
Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина
в точке (0;4), симметричная относительно оси 
Графиком второй функции 
также является парабола, ветви направлены
вверх, найдем координаты вершины 
то есть вершина в точке (1;-1), парабола симметрична
относительно прямой 
Построим данную фигуру, площадь которой требуется найти
Найдем абциссы точек пересечения двух графиков:
Получили, что 
Согласно формуле (2.17), получим
Пример
56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение. Показательная функция 
возрастающая, так как основание степени больше единицы
(2>1). Показательная функция 
убывающая, так как 
Построим графики данных функций
Найдем
абциссу точки пересечения графиков функций и 
Прямой 
разобьем данную фигуру на две, тогда 
Найдем точку пересечения графиков
функций и 
тогда, согласно формуле (2.17), получим
Найдем
точку пересечения графиков функций и 
тогда, используя формулу (2.17), получим:
Таким образом, площадь данной фигуры равна
.