Лабораторные | |||
Атомные станции | |||
Реакторы | |||
На главную | |||
Приложения определенного интеграла
Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.
1). Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой
(
непрерывна), прямыми
![]()
и осью
вычисляется по формуле
(2.15)
Площадь фигуры, ограниченной кривой
(
), непрерывная, прямыми
и осью
равна
(2.16)
Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми
и
(
) и двумя прямыми
и
находится по формуле
(2.17)
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси
её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы
Здесь непрерывные и неотрицательные функции
и
пересекаются в точке с абциссой
(2.18)
Пример 54. Найти площадь фигуры, ошраниченной осью
графиком функции
прямыми
и
Решение. Графиком функции
является парабола, симметричная относительно оси
ветви которой направлены вверх, вершина лежит в точке с координатами (0;2).
Найдем площадь фигуры по формуле (2.15)
Пример 55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и
Решение. Графиком функции
является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (0;4), симметричная относительно оси
Графиком второй функции
также является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины
![]()
то есть вершина в точке (1;-1), парабола симметрична относительно прямой
Построим данную фигуру, площадь которой требуется найти
Найдем абциссы точек пересечения двух графиков:
![]()
![]()
![]()
Получили, что
![]()
Согласно формуле (2.17), получим
Пример 56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
![]()
![]()
Решение. Показательная функция
возрастающая, так как основание степени больше единицы (2>1). Показательная функция
убывающая, так как
Построим графики данных функций
Найдем абциссу точки пересечения графиков функций
и
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Прямой
разобьем данную фигуру на две, тогда
Найдем точку пересечения графиков функций
и
![]()
![]()
![]()
тогда, согласно формуле (2.17), получим
Найдем точку пересечения графиков функций
и
![]()
![]()
![]()
тогда, используя формулу (2.17), получим:
Таким образом, площадь данной фигуры равна
.
На главный раздел сайта: Курс математики |
|