Контрольная по математике Школьный курс математики Вычисление интегралов Неопределенный интеграл Вычислить криволинейный интеграл Двойной интеграл Тройной интеграл

Математика решение задач курсовой работы

Пример 57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

   

Решение. Построим графики данных функций: это возрастающая показательная функция, так как основание этой функции больше единицы (4>1); графиком функции   является прямая, проходящая через начало координат (биссектриса первого и третьего координатных углов); прямая, параллельная оси  проходящая через точку (0;4)

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций  и

  Прямой  разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем абциссу точки пересечения графиков  и

Используя формулу (2.17), получим:

Следовательно, площадь данной фигуры равна:

.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1.  2.

3.  4.

5.  6.

7.  8.

9.  10.

Ответы. 1.  2. 18. 3.  4.  5. 8. 

 6.   7.  8.  9.  10.

2). Вычисление длины дуги.

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением  то

  (2.19)

где, абциссы начала и конца дуги

Если кривая задана уравнением  то

  (2.20)

где ординаты начала и конца дуги

Если кривая задана параметрическими уравнениями   то длина дуги выражается формулой

  (2.21)

где значения параметра, соответствующие концам дуги

Пример 58. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно  и

находим

   

Знаки  в выражении  указывают, что кривая симметрична относительно оси   точки  и  имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси

Подставляя в формулу (2.19), получим

  Пример 59. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

Решение. Дифференцируем по  параметрические уравнения циклоиды

тогда

 

Подставляя полученные результаты в формулу (2.21), получаем


На главный раздел сайта: Курс математики