Контрольная по математике Школьный курс математики Вычисление интегралов Неопределенный интеграл Вычислить криволинейный интеграл Двойной интеграл Тройной интеграл

Примеры решения задач типового расчета по математике

Разложить в ряд Фурье функцию

, заданную на интервале  уравнением .

Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

А. Будем полагать, что функция задана на отрезке длиной, равной периоду , и периодически продолжить ее на всю числовую ось с этим периодом

(рис. 10).

 y

 -2p  -p 0 p  2p х

 Рис. 10 

Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по общим формулам (9), (10), полагая .

;

;

;

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом и периодически на всю числовую ось. В данном случае . Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по формулам (5).

График функции представлен на рис. 11.

 y

 -p p  x

 

 Рис. 11

 

 

 0

 .

Итак, .

Заметим, что ряды Фурье, полученные в пп. А и Б, сходятся на отрезке  к одной и той же формуле , во втором случае вычислений нужно проводить меньше, чем в первом.

Во многих случаях удобно использовать комплексную формулу ряда Фурье, которую можно получить с помощью формул Эйлера:

.

Для функций с произвольным периодом  ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

 , (15)

где

 . (16)

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)

.

По формулам Эйлера

.

Следовательно, ,

.

В интервале  ряд представляет функцию , а в точках  его сумма равна .

Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами  и  и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

 

при .

Следовательно,

.


На главный раздел сайта: Курс математики