Контрольная
Культура
Электротехника
Лабораторные
Школьный курс
Термех
Курсовая
Атомные станции

Лекции

Черчение
Физика
Реакторы
Интеграл
Выполнение чертежей
Конспект
На главную

Примеры решения задач типового расчета по математике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Несобственный интеграл 1-го рода.

Определение 1. Пусть функция  определена на промежутке  и интегрируема на любом отрезке . Символ  называется несобственным интегралом 1-го рода от функции  на промежутке.

Определение 2. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если существует конечный , в противном случае этот несобственный интеграл называется расходящимся.

Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством

. (1)

Отметим, что для расходящегося несобственного интеграла либо , либо  не существует.

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла .

Решение.

а). Имеем

 .

Отсюда следует, что  сходится при  и расходится при .

б). Тогда

Таким образом, интеграл I (1) расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Имеем

  - не существует.

Ответ: интеграл  расходится.

Аналогично интегралу  определяются следующие интегралы:

,  (2)

, (3)

причем интеграл в левой части (3) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части (3)

Несобственный интеграл 2-го рода.

Определение 3. Пусть функция  определена на конечном промежутке , интегрируема на любом отрезке . Символ  называется несобственным интегралом 2-го рода от функции  на промежутке .

Определение 4. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если существует конечный , в противном случае этот интеграл называется расходящимся.

Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством

. (4)

Отметим, что определение 4 сходящегося несобственного интеграла 2-го рода на промежутке  является содержательным лишь в том случае, когда функция  неограничена на любом интервале . Действительно, если функция  интегрируема (в смысле Римана) на любом отрезке , ограничена на , то, доопределив  в точке , получим функцию, интегрируемую по Риману на отрезке , причем интеграл Римана от этой функции равен пределу в правой части (4) и не зависит от . Поэтому при рассмотрении несобственных интегралов 2-го рода на промежутке  будем считать, что функция   неограничена на любом интервале .

Определение 5. Точка  числовой оси называется особой точкой подынтегральной функции  (см. (4)), если на любом интервале  она является неограниченной.

Аналогично интегралу (4) определяются интегралы:

  - особая точка,

 - особая точка.

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. а) . Имеем

Отсюда следует, что интеграл  сходится при  и расходится при .

 б) .

Таким образом, интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

1.3. Другие типы несобственных интегралов.

Определение 6. Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке   за исключением точек , где . Тогда по определению несобственный интеграл

.  (5)

Определение 7. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если сходится каждый из интегралов в правой чисти (5). В противном случае интеграл  называется расходящимся.

В дальнейшем мы будем рассматривать несобственные интегралы вида   в предположении, что:

а) функция  определена при , где  - либо конечная точка, либо ;

б) функция  интегрируема по Риману на любом отрезке .

Тогда по определению сходящегося несобственного интеграла:

  (несобственный интеграл 1-го рода),

  (несобственный интеграл 2-го рода).


На главный раздел сайта: Курс математики