Контрольная по математике Школьный курс математики Вычисление интегралов Неопределенный интеграл Вычислить криволинейный интеграл Двойной интеграл Тройной интеграл

Задачник по математике. Примеры решений

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности 

Пример 14. Доказать, что

Решение. Покажем, что при любом  

Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

     

 

Непрерывность функций в точке Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если

Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

убывает(см. пример ) и её предел равен  Тогда

Поскольку  то  и

 

Пример 15. Для нахождения   применяется следующий процесс:  произвольно,

   (8)

Доказать, что

Решение. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого   Теперь убедимся в том, что последовательность  не возрастает. Действительно, неравенство  то есть , равносильно . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность  имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу:

Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом:

  Найти .

Решение. Оценим разность между  и числом , являющимся корнем уравнения . Применяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим .

Поскольку , то  и .


На главный раздел сайта: Курс математики