Контрольная по математике Школьный курс математики Вычисление интегралов Неопределенный интеграл Вычислить криволинейный интеграл Двойной интеграл Тройной интеграл

Математика решение задач контрольной работы

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

,  (1)

где n – любое число, не обязательно целое.

При   уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При оно превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при  и ).

Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.

Теорема. Пусть  и . Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою  сводится к решению линейного уравнения (для функции z).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции  две неизвестные функции  и , такие, что . (7)

Подставляя это в уравнение (1), получим:

  (8)

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.

Для того, чтобы определить конкретные функции  и , необходимо задать еще одну зависимость между  и , причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить . (9)

Тогда уравнение (8) примет вид:  или, считая  (или, что то же, ) . (10)

Так как  есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным: . (11)

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную . Это можно делать, так как за функцию  мы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак,  известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения  будет с разделяющимися переменными (считаем ). (12)

Отсюда получаем или  (13)

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли

.

Такой способ решения годится и для и . В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно: , где С – произвольная постоянная.

Пример.  или .

Это уравнение Бернулли. Здесь .

Преобразуем уравнение, разделив его на .

Положим , тогда .

Следовательно,  или .

Отсюда .

  и  – особое решение.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения

Условие Липшица

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную в прямоугольнике К:

Определение. Если для любого  и любых двух значений  и  переменной :

, существует такое, не зависящее от х число , что выполнено неравенство:  (1), то говорят, что функция   в области К удовлетворяет условию Липшица с постоянной L.

Замечания:

1. Если  в области К имеет непрерывную частную производную , то всегда найдется такое L, что условие (1) будет выполнено. Действительно, тогда по формуле Лагранжа  (2),

– лежит между  и .

В силу непрерывности  в К и замкнутости области К,  в К ограничена, т.е. , где L – некоторая константа. В этом случае, в частности, за L можно принять .

2. Условие Липшица (1) более слабое, чем существование частной производной , так как оно может быть выполнено и в том случае, когда  существует не всюду в К.

Примеры:

Определить, удовлетворяет ли условию Липшица функция  заданная в прямоугольнике ?


Решение.

Следовательно, за L можно принять  и условие Липшица выполнено. Тот же результат получим, если используем замечание 1. Действительно, функция  имеет непрерывную , поэтому за L можно принять .

Таким образом, заданная функция удовлетворяет условию Липшица в любом конечном прямоугольнике.

То же самое для функции .

Это значит, что в прямоугольнике K условие выполнено с .

Здесь константа L не зависит от размеров прямоугольника, следовательно, условие Липшица удовлетворяется на всей плоскости.

То же для функции

В то же время  не существует при , т.к.

.

Теорема существования и единственности

Теорема (Коши)

Пусть   удовлетворяет условиям:

1) непрерывна в прямоугольнике K: , тогда в K  ограничена, то найдется такое   (3)

удовлетворяет в K условию Липшица

  (4)


Тогда в интервале:   (5)

дифференциальное уравнение  (6)

обладает единственным решением , таким, что .

Замечания:

Для существования решения достаточно непрерывности  в K.

Для единственности решения требуется выполнение условия Липшица (4), которое может быть заменено более жестким условием существования в K непрерывной .

При доказательстве теоремы рассматривается задача Коши: , (7)

которая заменяется эквивалентным ей интегральным уравнением . (8)

Затем к уравнению (8) применяется так называемый метод последовательных приближений Пикара. Он состоит в том, что строится последовательность функций  сходящаяся к решению уравнения (8). Функции  строятся по следующему правилу: за исходное приближение принимается , а следующие вычисляются по формуле: . (9)

Это есть рабочая формула для построения приближенного решения по методу последовательных приближений.

Допустим интегральная кривая построена на интервале . Возьмем конечную точку за центр нового прямоугольника и продолжим решение вправо. Поступая так, каждый раз, можно продолжить решение (интегральную кривую) до самой границы области G задания функции   (в предположении, что G конечна и замкнута).

Мы построили интегральную кривую, проходящую через точку . Можно выбрать любую другую точку и опять получим единственную интегральную кривую. Таким образом, область G как бы состоит из интегральных кривых.

Теорема. Если  определена и непрерывна на всей плоскости и удовлетворяет условию Липшица во всякой конечной области этой плоскости, то всякая интегральная кривая при возрастании или продолжима до  или имеет вертикальную асимптоту при конечном значении , т.е. интегральная кривая не может окончится где-то внутри области.

Пример. .

Здесь  удовлетворяет всем условиям теоремы. Решением задачи Коши  будет . Решение имеет вертикальные асимптоты .

Те точки области G, в которых функция  неопределена или перестает быть непрерывной или не выполняется условие Липшица, называются особыми точками уравнения . Таким образом, особые точки это те точки, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности. Особые точки могут быть изолированными, а могут составлять и целые области.


На главный раздел сайта: Курс математики