Контрольная по математике Школьный курс математики Вычисление интегралов Неопределенный интеграл Вычислить криволинейный интеграл Двойной интеграл Тройной интеграл

Математика решение задач контрольной работы

Частные случаи уравнений II порядка

Рассмотрим частные случаи уравнений II порядка, допускающих «понижение» порядка, т.е. случаи, когда уравнение II порядка приводится к интегрированию двух уравнений первого порядка.

Правая часть не содержит  и

  (1)

Положим . Тогда  и .

Получили уравнение первого порядка.

Отсюда  или .

Имеем опять уравнение первого порядка  или

Получили общее решение уравнения (1).

Правая часть уравнения не содержит

  (2)

Положим , тогда для z имеем уравнение .

Пусть его решение будет . Следовательно, .

Отсюда .

Это общее решение уравнения (2).

Пример. .

Положим , тогда  и его решение .

Следовательно,  и  

или   – общее решение уравнения (2)

Правая часть не содержит х

  (3)

Положим  и будем считать z функцией y.

Тогда . Итак, .

Подставляя это в уравнение (3), получим: , т.е. уравнение первого порядка относительно z. Решив его, будем иметь  или .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Отсюда .

  Это общий интеграл уравнения (3).

Пример. .

Положим , тогда  или . Отсюда  

или   или  - общее решение.

Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами   (1)

и соответствующее ему однородное , (2)

где   и  – постоянные коэффициенты.

Найдем общее решение уравнения (2).

Будем искать решение уравнения (2) в форме .

Тогда .

Подставляя это в уравнение (2), получим: .

Но так как , то  (3)

Это уравнение по отношению к уравнению (2), называется характеристическим.

Если функция  есть решение уравнения (2), то  должно быть корнем характеристического уравнения (3).

Рассмотрим три возможные случая:

корни уравнения (3) вещественны и различны

корни вещественны и равны

корни комплексные сопряженные

1 случай.  и действительны.

В этом случае функции  и  будут решениями уравнения (2). Так как их отношение , то эти решения линейно независимы и, следовательно, они составляют фундаментальную систему. А поэтому общее решение уравнения (2) в этом случае будет

  (4)

Пример.

Характеристическое уравнение будет .

Его корни . Общее решение будет .

2 случай. Корни равны .

В этом случае имеем пока только одно решение . Покажем, что вторым решением будет . Действительно,

Подставим это в левую часть уравнения (2), тогда получим

,

так как  есть корень уравнения (3), и потому, что . А это значит, что  есть решение (2), что и требовалось доказать.

Итак, мы имеем два решения  и . Они линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Поэтому общий интеграл будет .

Пример.

Характеристическое уравнение . Корни .

Общее решение .

3 случай. Корни комплексные сопряженные

Следовательно, имеем два комплексных линейно независимых решения .

Общее решение будет .

Ясно, что иметь вещественное общее решение надо считать  и  комплексными числами. Выразим  и  по формулам Эйлера, тогда

Положим здесь . Тогда .

Поэтому .

Таким образом, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, уравнение (2) имеет два линейно независимых вещественных решения .

Общее решение .

Пример.

 

Общее решение .


На главный раздел сайта: Курс математики