Школьный курс математики

Лабораторные
Атомные станции

Лекции

Реакторы
На главную

Понятие натуральных чисел

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее.

Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Делители и кратные

Более удобный способ отбора составных чисел – решето Эратосфена – предложил в III в. до н. э. древнегреческий математик Эратосфен.

Определить, является ли большое число простым, очень непросто. В настоящее время эта проблема решается при помощи ЭВМ, однако даже на самых быстрых из современных ЭВМ доказательство того, что число, состоящее из нескольких сотен цифр, является простым, может занять месяцы и годы. На сложности определения простоты чисел основаны современные механизмы шифрования данных.

Общим делителем нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший. Такой делитель называется наибольшим общим делителем (обозначается НОД).

Сравнения по модулю и признаки делимости

Пример Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Система счисления – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями

Пример Записать число 132 в 1) троичной; 2) пятеричной; 3) семеричной; 4) двенадцатеричной.

 

Целые числа

Теперь, введя множество отрицательных чисел, мы можем изучить операции на множестве целых чисел

Умножение. Для того, чтобы перемножить два целых числа, нужно перемножить их модули и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного

Обыкновенные дроби

Сокращение обыкновенных дробей

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби

Десятичные дроби Умножение и деление десятичных дробей

Пример Разделить 0,806 : 31.

Оказывается, что можно провести и обратную операцию, а именно, по любой десятичной дроби найти обыкновенную дробь, ей равную.

Пример Обратить в обыкновенную дробь число 2,14(21)

Иррациональные числа

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел .

Вычитание. Чтобы вычесть из одного действительного числа другое действительное число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Отношения между числами

Найти число по данной величине его указанного процента. Для того чтобы решить эту задачу, нужно данную величину разделить на дробь, выражающую указанный процент.

Понятие о среднем

Если дан ряд величин, то всякая величина, заключённая между наибольшей и наименьшей из данных величин, называется «средней». В математике наиболее распространены следующие средние.

В практической деятельности человека бывают числа двух видов: точные и приближённые . Часто знание лишь о приближённом числе достаточно для понимания сути дела. Иногда употребляют приближённые числа, так как точное не требуется, а иногда точное число невозможно найти в принципе.

Округление чисел

Вычислить если

Найти

 

Понятие комплексного числа

Вычислить z 1  +  z 2 и z 1 z 2, где z 1  = 1 + 2 i и z 2  = 2 –  i .
Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.
Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет.
Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте
Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2 i )(3 – 4 i ).
Формулы сокращённого умножения Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых
Разложение многочлена на множители Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители . В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.
Квадратный трёхчлен Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях.
Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду Разложить на множители квадратный трехчлен x 2  – 4 x  + 3. Решите уравнение
Корни многочлена Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.
Пример Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.
Разложить на множители многочлен x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6.

Математика

Реакторы